“以数思形”巧解函数问题

唐建

[摘 要] 函数是数学的灵魂，在高中数学中的地位也是毋庸置疑的. 说它是“灵魂”，与其抽象、复杂的特点是分不开的，当然这也是学生们感到头疼的关键所在. 那么如何才能让抽象的函数变得直观、易于理解从而掌握其单调性等一系列属性呢？这就不得不提到数形结合思想的重要性.

[关键词] 数形结合；函数；取值范围；零点

数形结合思想的应用一般有两种形式：以形助数和以数辅形，也就是将“数”和“形”统一起来，化“复杂”为“简单”. 化“抽象”为“直观”，从而达到使解题变简单的目的. 而函数本身就离不开图形，它的许多属性都可以从图形中轻而易举获得，因此数形结合思想与函数结下了不解之缘，连著名的数学家华罗庚先生都称赞道：“数缺形时少直觉，形少数时难入微. 数形结合百般好，隔离分家万事非”.

3. 方法提炼

在这道真题中，出题者可谓是用心良苦，前一问抛砖引玉，较为简单，后一问则加大难度，两问之间沟通的桥梁就是解此题至关重要的一步：函数图形，对于学生来说，只有在直观的图形面前，他们才能轻松地判断分段函数的多种可能情况，快速地列出分类讨论的不等式组. 因此，数形结合思想在此题中运用得恰到好处，熟悉这种思想的学生可以轻松快速地解题. 由此可见，数形结合思想在高考中往往是可以为考生提供解题思路，加快解题速度的不可多得的好方法. 该思想在其他情境的函数问题中也效果明显，值得学生们好好掌握.

“以数思形”之方程问题

笔者在教学过程中发现，尽管数形结合思想大家都耳熟能详，但如何應用确是困扰学生们的头号问题，以至于在面对具体问题时束手无策. 本人认为，这是缺少对该思想应用场合的归纳指导，下面就该方面详细说明，希望可以给读者们一些帮助，让数形结合不再仅仅是我们口中的“漂亮”辞藻，而是实实在在地为学生们指点迷津. 高中数学里有很多概念都是以几何元素和几何背景建立起来的，如向量、三角函数等，这些都可以“以数思形”，根据代数式的图形分析其几何性质，从而在曲线图形和方程之间建立联系.

点评：本题运用数形结合的思想，巧妙地发现其中一个交点位置是固定的，从而有效地避免了传统解法的分类及繁杂的数学运算与推理，顺利求出参数的值.

总结提高

上述几种类型的问题解析中，都无不体现了数形结合思想的重要性. 运用数形结合思想，能使抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，激发解题灵感，大大优化解题过程. 但要真正地熟练掌握数形结合思想，应鼓励学生们平时注重培养自己的识图、观图、作图、用图能力，只有扎实的图像基本功，才能使数形结合思想完美地应用于解题中.

数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路. 数形结合方法可以用来解答各种难题；包括一些复杂函数的极值问题、复杂的集合问题、方程与不等式问题等等. 在高中数学教学中，应当立足教材，挖掘数学思想方法，优化教学过程，在讲授知识过程中适时渗透数形结合思想方法，帮助学生提高数学学习能力.