在历史的遗迹中寻找圆形面积公式推导的新方法

夏正倩

摘 要：圆形面积推导问题，自它诞生以来，就吸引了无数数学家为之折腰，无数先贤智者为了求出圆形面积可谓煞费苦心。时至今日，电子计算技术空前发达，但是所遵循的仍是“化曲为直”“极限逼近”的古法，因此，教学中回溯历史，在历史足迹里创新教法，是教会圆形面积推导的不二法门。

关键词：圆形；面积；公式；求法；极限；历史

聽完一节“圆的面积”实习课，虽然过程流畅，但却感觉有点生涩和扭捏；教学程序严丝合缝，却又觉得有些欠火候。细究之下才发现，老师一个劲地问，学生只有被动装填，虽然老师的功夫无可挑剔，但这种填鸭式的满堂灌，终究是事倍功半，低效运作。下面我们——来剖析。

一、在验证中转化，变形推公式

片段一：呈现课题，初次估算（将圆片置于方格内，如图 1）

师：怎样数清圆形占据方格的数目？

生：整格数好办，不足1格可算作半格。

师：趋近于1格时，怎么计算？

生：算作1格。

师：圆面覆盖范围内都要数吗？

生：嗯。

师：有较为便捷的方法吗？

生1：数出1/4的扇形即可。

生2：只要数出1/4处正方形的边角空格，就可求出圆面的1/4。

片段二：进一步验证

教师先提出过渡：圆的面积约为其半径平方数的3倍多，确切数字难以求证，我们计算时根据需要来保留有效数字。然后让学生回顾平行四边形、三角形、梯形的面积公式是如何推导出来的。接着，提示学生用割补法推算圆形面积，并让学生商议怎么剪接、怎么拼装，学生提出沿着半径或者直径裁剪两种方案，教师提出剪成4等份的假设，让学生进行拼接，然后课件演示裁切成8、16等份的情况，让学生小组合作探究，拼装成平行四边形。在组装时，启示学生明白份数越多越接近矩形，启发引导学生观察分析矩形长与宽与圆形的哪些因素有关，变形后圆的面积是否发生改变，并最终推导出圆形的面积公式。

二、在教师手中分权，学生质疑

启发式教学，最早的说法是孔夫子的“不愤不启，不悱不发”。网络词典释义为：开导指点或阐明道理，引起对方联想并有所领悟。启发式教学的落脚点就应该在点拨学生质疑反思。反观上述教学，你问我答，一唱一和，顺畅自然，然而学生都是被老师暗示操纵，没有“起疑”，没有“反思”，自然不会有“领悟”，完全看不到启发在哪里，教学没有高低起伏，没有轻重缓急，没有高潮迭起和回落。随着新理念的实施，满堂灌退出历史舞台，启发式教学成为主流。但是依然是穿新鞋走老路，满堂灌被改装成满堂问重新“上市”，而满堂问并没有启发的营养成分。

启发需要静待时机。推理圆形面积公式前，许多教师喜欢以曹冲称象的典故楔入转化思想。为学生提供化整为零的思路。然而，这是需要时间的，不能急于求成。无论怎样的思路都会有闪光点，教师要善于发掘学生提议的亮点。如有的学生提出，可以用砂石平铺一个圆，然后平铺一个边长等于直径的矩形，均铺一样的厚度，面积之比就是砂石质量之比。可惜，老师很快无情地打击了这种想法。然而，回溯人类推求面积公式之路就会发现这样一段趣闻：有一天，卡瓦利里看到自己的衣服，灵光一闪：布就是几何平面，将面积像布匹一样拆散成线条……

借助卡瓦利里故事的启示，教师提议将砂石换成布匹，回溯历史，学生受到历史人物的激励，更容易产生猜想。充分利用圆的外切四边形和内接四边形，渗透“化圆为方”的思想。

启发要有主旨：从曹冲称象到数方格。有人提出异议，讲完曹冲称象的故事，有时等来的是一场空，有时等来的是乱弹琴。如果听完故事毫无启迪，说明故事未能引起学生注意。过于熟悉的故事反而没有新鲜感。如果学生的心得体会跑偏，我们就要重新反思故事的启点在哪里？一定要让启点突出生动，刺激学生产生联想和类推。反观教学，故事与数方格脱轨，与后面的验证猜想、推导公式需要的数学思想仍有偏差。因此这个故事本身就有问题。

三、在古法中徜徉，创新极限求法

师：请大家根据自己摸索的方法，打开课本，粗略计算书中每个图形的面积。

找出规律，初步推测圆的面积与半径的数量关系。这一步很精妙，但是尚欠火候，可以进一步向纵深推进。可以将方格继续细化，边长由1cm细化至1mm，可以扩展一列数据，将圆周率推至两位小数3.14；再逐步细分，利用计算器，一步步趋近于圆周率的真实值……在由粗略估算到精确推进的过程中，学生能更真切地感知圆面积与半径平方的关系和圆周率有关。

回溯圆形面积的发展史：

在古希腊，求圆面积就是世纪难题之一。公元前500年，哲学家阿拉克萨克为之痴迷，将金钱视如粪土。辩士兼诗人安提丰第一次提出用内接正多边形逼近圆周率，但是无法形成成文的公式。阿基米德、卡瓦利里、开普勒以及中国的刘徽在前人理论的基础上继续发展，将多边形的边数从有限扩展至无限，而且大胆设想，冲破藩篱，提出“以直代曲”的伟大构想。

历史是一面镜子，它告诫我们：以直代曲、极限的数学思想才是启发学生思考归纳圆形面积公式的关键点。面对小学生，不能明确提出以直代曲和极限这样晦涩难懂的概念，但却可以潜移默化地渗透这种思想，并不知不觉运用这种思想指导教学。进一步地，数方格可以令学生初步体验有限向无限过渡的操作。

带着细化至无限多的思想数方格，就不止于“清数”，而是启发学生分得越细越接近真相。接着，按次序连接交点，学生感悟到：方格越细密，精确度越高，多边形面积越接近圆形面积。学生自然会质疑，无限的尽头是极限，极限在哪里？

概念的形成是个循序渐进缓慢爬坡的运动过程，具有很大变数，启发的航向极为重要。我们要放眼未来，不能硬性强推公式。不能直言以直代曲和极限等字眼，要巧妙传承以直代曲、极限思想等宝贵的精神遗产。