思维可视化：让数学学习真正发生

王英

导读：

思维可视化是指以图示或者图示组合的方式把原本看不见的思维过程、结构规律、思考路径及解题方法呈现出来。简单地讲，就是用图示将大脑中的思维画出来。在解决实际问题的时候，如果适时地让学生在纸上涂一涂、画一画，将思维可视化运用在小学数学学科教学中，可以实现隐性思维显性化、零散知识系统化、解题策略更优化、解题规律模式化，更好地培养学生的符号意识，促进其数学思考，发展思维能力。

一、思维可视化：让隐性的思维显性化

俗话说：不了解病人，怎能对症下药？如果不了解每一个学生真实的思维起点，又怎能以学定教，顺学而导？当下的课堂，教师常常根据教材和教学参考书的规定，基于成人的逻辑分析，比较主观地确定学生数学学习的起点，缺少一种有效载体来调动每一个学生实实在在参与到数学思维中去。而思维可视化就是将每一个学生主动思考的思维过程呈现出来，让隐性的思维显性化，进而真正找到每一个学生的思维起点，有效地促进学生学习能力的提升。

例如，清华附小易博老师在教学北师大版小学《数学》“植树问题”时，出示了一个较为开放的问题： 在一条长20米的小路一侧种树，每隔5米种一棵数，可以种几棵？在简单理解题意后，要求学生根据自己的经验，不仅要写出算式，还要用图示把自己的想法画出来。

学生独立思考后将作品原汁原味地呈现在黑板上：

我们发现，虽然有些算式在特定情况下的结果是正确的，但所列的算式和画出的图示并不对应，说明有些学生在理解题意上是有偏差的。试想如果按照一般的教学，只让学生列式计算，不让学生用图示来表示思维过程，学生的思维程度就无法观测到，有的学生甚至还处于一知半解状态。长此以往，很可能使部分学生形成“浅思考”“错思考”“不思考”的不良状态，数学思维也就很难得到发展。

易老师组织学生进行作品展示，真实而又全面地暴露出了每一个学生真实的思维起点、逻辑起点、解决问题的经验起点。面对这些并不完美的作品，易老师不仅没有回避，也不担忧，而且敏锐地捕捉学生的信息资源，把握学生真实的思维状态，发现了学生思维的障碍、理解的误区…… 课堂上，他并没有马上把正确的答案公布出来，而是在学生思维阻滞处逗留，引导学生展开对话，让学生为自己的观点辩护，或向同伴提出质疑，或在比较中发现差异，或在协商中寻求共识，将一次次的对话逼向学生思维的内核，让学生在解释、辩解、讲理的过程中对自己的思维做出正确的价值判断，对学生的思维偏差做出及时的纠正，使得学生思维从“混沌”到“清晰”再到“通透”。事实上，真正的思维就是在这样深度、开放、多维的对话过程中得以展开和深化的。因此，学生最后获得的不仅仅是关于植树问题的解题策略，还有数学的思想和方法。

二、思维可视化： 让零散的知识系统化

成尚荣先生说：“为了儿童的发展，首先要认识和发现儿童，其次要寻找学科与儿童的本质关联，再次要研究儿童是怎么学习的。”根据小学生的认知发展规律和数学学习规律，他们的思维都是从点状思维阶段开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。思维可视化，要求我们在课堂教学中用图示的方式来表达思维过程。在这个过程中，学生的数学思维逐步从零散走向联系，从碎片走向系统，从知识层深入到思维层，从而打通数学知识内在联系，实现系统化构建。

例如，苏教版小学《数学》六年级“平面图形的面积整理复习”一课。这部分内容知识点容易混淆，学生不容易记忆。教学这一部分内容时，教师可要求学生上课前巧用表格或者画图的方法先进行自主整理，课堂上组织学生进行交流展示、补充调整、比较提炼……这样，学生在原生态的交流中，形成了一个强大的经验“交换场”、思维“碰撞场”、思想“交流场”。学生头脑中原本单一、还没有结构化的思维体系，在教师的引导下慢慢实现着转换，知识点逐渐丰满起来，推进着浅层次学习向深度理解的进程，让学习真正发生。

[S=ab][a][b] [r][o] [a][S=a2][a][S=πr2] [a][h][h][a][b][h][S=ah][S=ah][S=（a+b）h]

（“平面图形的面积和计算”结构图）

这是一张完整的知识网络结构图，不仅简洁地用图形、字母、符号清晰展示出了每个平面图形的计算公式，而且还用箭头连接起了图形与图形之间的密切联系，有助于引导学生准确地回忆出各平面图形之间的转化过程。如果将这个图形竖过来看的话好比一棵枝繁叶茂的树，而长方形则是这棵树的树根，因为其他图形的面积计算公式的推导都是以长方形为基础的，很好地沟通了平面图形面积计算公式之间的内在联系，形成了较为完整的知识体系和思想方法系统，达到了融会贯通的高度。

三、思维可视化： 让解题的策略更优化

我们知道，数学课堂里总是存在两条线：一条是明线，像那些所谓的知识点（概念、公式、定理等）；一条是暗线，就是所谓的数学思想和方法。部分数学教师非常重视前者而忽视后者。比如：有些数学教师往往在出示问题后，看到学生没有“动静”，或者说出来的思路不在自己的“预设”之中，赶紧把最佳的路径草草地塞给学生，费尽心机地拽着学生跳过沟壑，少走弯路。结果呢，往往一旦放手，学生仍然不能很好地解决问题。其实不同的学生自己会寻找不同的解题路径，与其费尽心机让学生理解老师的方法，还不如尝试接纳学生个性化的思维，顺应学生的思维，在充分展示学生不同解题策略的基础上，和学生一起走在探索之路上，站在学生的角度巧妙引导，逐步实现教学策略的更优化，使学习真正发生。

庄惠芬老师在教学“握手问题”时，首先请每个小组交流讨论，并将每组的解题方法一一展示在黑板上：

[（1）]

[（2）]

一幅幅简单的示意图，外化并折射出学生不同的思维线索、路径和水平，有的学生的思维处在一一列举的思维状态，还没有找到具体的规律；有的学生不仅画出了简洁的图示，而且还用算式清楚地表示出了具体的规律。不同的解题方法，折射出学生不同的思维状态。庄老师组织学生进行观察、比较，在相互交流、学习、借鉴的过程中，不断提升自己的理解、认识和思维水平，解题的策略自然就能更优化了。

四、思维可视化： 解题的规律模式化

提高小学生解题能力的一个很重要的方法就是通过模型化（即图形化）来揭示习题的规律。一个有经验的教师常常会借助典型的习题，让学生尝试探究，帮助学生发现其中的规律，纠正学生思维过程中的片面认识乃至错误认识，总结解题的思路和过程，提升学生的思维能力，培养良好的解题习惯，提炼其中的數学模型思想，建立完善的数学分析模型图。

例如，庄惠芬老师在学生研究完“握手问题”的新授环节后，组织学生回顾研究这个问题所经历的数学思维过程，总结如下：

在学生全面回顾解决“握手问题”所经历的数学思维过程的基础上，引导学生进行类比迁移，尝试探究“5个人两两通电话”的问题进而广泛应用，大胆类比联想，自主构建，由“握手问题”还想到了“两两跳舞”“数线段”“数角”“数长方形”“数三角形”等实际问题，从而认识到不同现象之间有着共同的本质，深刻体会数学模型的抽象概括性，感受数学以简就繁、万象同理的神奇。世界上有做不完的数学题，但是我们可以触类旁通，举一反三。善于“串线”“结网”，建立数学模型，在完成一个板块知识的教学后，努力引导学生把本板块的知识内容进行梳理，明确知识间的基本关系与内在本质的联系。学生在掌握了这样科学探究的数学思想方法之后，遇到类似实际问题就自然会迁移应用，进而让学习真正发生，并形成良好的思维习惯。

（作者单位：江苏省张家港市塘市小学）

□责任编辑 周瑜芽

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