且行且思，积累探索规律的经验

乔国锋

【设计理念】

《多边形的内角和》是苏教版四下的一节数学活动课，旨在让学生通过观察、操作、推理等具体的活动，发现多边形内角和的计算方法。教材是在学生探索了三角形内角和及认识了多边形基本特征的基础上展开设计的。教材从简单图形开始，依据三角形内角和的结论，依次对四边形、五边形、六边形的内角和进行探索，运用“转化”的思想求出这些简单图形的内角和，然后对探究中获得的数据进行整理、分析、推理，获得多边形内角和的计算方法，最后通过回顾与反思，积累稍复杂规律的探究经验。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）明确指出：学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想方法，获得基本的数学活动经验。因此，在设计本课时，为了调动学生在探索三角形内角和时积累的活动经验，笔者首先让学生通过动手操作，即在撕一撕、画一画、填一填、找一找等活动中经历猜想、验证的过程，然后让学生在对比、感悟中掌握探究的方法，体验探索规律的一般步骤。具体的设计思路如下：

1.自主参与，真实经历探索过程。

课标中多次强调，学生应当经历观察、实验、猜测、推理、验证等多种数学活动过程。只有学生自主参与数学学习活动，才能真正经历数学的学习。在本课开始，笔者巧设教学活动，激发学生对课题的兴趣，让学生自主建构活动目标；在课中，学生展示和比较极富个性的计算方法，激活深入探索的愿望；最终，学生通过对数据的观察分析，用自己的语言和方法概括出多边形内角和的计算方法。这些措施都将学习的主动权交给学生，让学生经历真实的数学学习过程。

2.任务驱动，有效积累活动经验。

教师是活动的组织者、引导者和合作者，因此，笔者力图创设良好的学习环境，以任务驱动学生。教学伊始，笔者就让学生根据课题提炼出本课的学习任务：多边形内角和的计算结果是多少？我们是怎么探索多边形内角和的？学生以这两个大问题为目标，进行有目的的研究活动。在探索、积累数据后，学生创建并填写统计表格，学生以“观察表格数据，寻找规律”为任务，通过推演分析，抽象概括出多边形内角和的计算法。在这些任务中，学生有了“有序思考”“从简单的想起”“找一找规律”“抽象概括”的活动经验，为以后的探索活动打下了基础。

3.对比反思，关注核心素养培养。

核心素养是适应个人终身发展和社会发展的必备品格和关键能力。《多边形的内角和》一课所涉及的数学核心素养包括几何直观、数据分析观念、推理能力等，其中推理能力又是本课的重点。在四边形内角和探索中，学生在由特殊到一般的猜测、验证过程中进行推理，初步体验推理思维；在将研究数据填入表格并对数据进行观察、分析、概括的过程中，进一步培养学生自主推理的能力，最终通过交流获得了多边形内角和的计算方法。在探索操作的过程中，教师引导学生充分借助几何图形，利用添画辅助线的方法直观感知多边形内角和与分成的三角形个数之间的关系，从而提升学生的分析与推理能力。

【教学目标】

1.学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，能利用分割三角形的形式求出多边形的内角和，并根据多边形边数与分割三角形个数之间的关系，掌握多边形内角和的计算方法。

2.学生在活动中经历分一分、算一算、比较归纳等探索规律、发现规律的过程，加深对探索数学规律的一般方法的了解，积累相应的数学活动经验，提升解决问题的能力；体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等思维能力，发展空间观念。

3.学生在主动参与探索规律的活动中，获得探索规律、发现规律的成功体验，树立学好数学的自信心；感受数学的奥妙，产生学习数学的兴趣，提高数学学习的积极性。

【教学过程及意图】

一、自主提问，产生核心问题

师：今天我们学习的内容是“多边形的内角和”，看到这个课题，你能提出哪些问题？

预设：什么是多边形？什么是内角和？多边形的内角和是多少度？怎么来研究多边形的内角和？

前两个问题直接让学生交流、解答。

师：多边形的内角和怎么去研究（过程）？研究的结果又是什么（结果）？这节课我们就带着这两个问题边学边思考。

板书：结果 过程

【通过自主提问，提高了学生发现和提出问题的能力；通过核心问题引领，增强了学生研究問题、探究规律的动力，同时也使研究更具方向性和目的性。】

二、简单交流，确定研究思路

师：今天我们要对多边形的内角和进行研究，我们是从20边形、30边形这样的复杂多边形开始研究呢？还是有更好的切入口？

预设：只要学生提到边数较少的多边形，教师就指出：你们说的多边形的边数都较少，这样的研究方法在数学上可以称为——从简单的想起。

板书：从简单的想起

师：从几边形开始？（三角形）然后呢？

学生只要按顺序说出图形的名称，教师就对其想法进行评价：按顺序进行，能更便于我们获得想要的结果。

板书：有序思考

师：行，我们就从三角形开始研究。

课件出示可以移动的三角形：移动三角形的一个顶点，三角形的形状在变化，三个角的度数也在变化，什么是不变的？（三角形内角和始终是180度）

板书：三角形 180度。

【学生通过与教师的简单对话交流，初步掌握了解决复杂问题的一般步骤，即从简单想起，按序思考。】

三、动手操作，掌握探索方法

师：三角形的内角和，我们以前探索过了，今天不再重复，接下来我们该研究四边形的内角和了。你认为四边形的内角和是多少度？先猜猜看，再说说你是怎么想到的？endprint

预设：学生会根据长方形或正方形这两个特殊的四边形进行猜想，由于这两个四边形的四个内角都是直角，所以学生会猜测四边形的内角和是360度。

师拖动四边形的四个顶点，将它变成一般的四边形。提问：现在这个四边形的内角和还是360度吗？你打算用什么方法来验证呢？

学生从学具中取出一个四边形进行操作验证，完成后汇报结果。

组织学生汇报交流：

第一组：用“拼”的方法进行验证。

师评价：将四边形的四个内角撕下来，拼成一个周角，来说明四边形的内角和是360度，这种方法在研究三角形内角和时就用过，这组同学能学以致用，值得大家学习。

第二组：用“分”的方法验证。

师（演示一位学生的操作）：这位同学只画了四边形的一条对角线，认为这样就能说明四边形的内角和是360度。你们能看懂吗？

师用课件演示，先用动画展示分成的第一个三角形的三个内角，再展示另一个三角形的三个内角，提问：两个三角形内角度数之和与原来四边形的四个内角度数之和有什么关系？（相等）

师：这说明分了以后，形状变了，但内角和不变。数学上把这种方法称为转化。

板书：转化

师：你们也试着分一分，并说一说任意四边形的内角和是多少度？

板书：四边形 180°×2

师：验证四边形的内角和时，有人用撕的方法，有人用转化成三角形的方法来验证，你认为哪种方法能更好地帮助我们研究更复杂的多边形的内角和？

【学生通过对四边形进行“剪拼”“分割”等操作，经历观察、实验、猜想、计算、验证等过程，在对比感受中掌握多边形内角和的重要研究方法——转化，这为后续开展更为深入的探究活动打下了基础。】

四、方法应用，解决复杂问题

师：请你再从信封中取出印有五边形、六边形的纸来，你能不能也用转化成三角形的方法求出这两个多边形的内角和？

学生操作后交流：

第一步：交流五边形的内角和。

预设学生分的形式：分成两个四边形、分成一个四边形和一个三角形、分成三个三角形。

师：在这几种分法中，你对哪种分法有意见？说一说你的理由。

说明：从顶点到对边来分，分成了两个四边形之后，就会产生多余的角（师在课件上指出），这时的内角和就比实际的内角和大，说明在分的时候只能从顶点到顶点来分。

师：对于剩下的两种分法，你又有什么看法？

分成一个三角形和一个四边形实际上和分成三个三角形是一样的想法，一个四边形的内角和就相当于两个三角形的内角和，所以五边形的内角和就是180°×3=540°

板书：五边形 180°×3

第二步：交流六边形的内角和

预设：（1）有学生通过六边中间的点向各顶点连线，分出6个三角形的情况，让学生观察这样分是否合理。

说明：在分的时候，线不能相交，相交就会产生多余的内角，使原有的内角和变大。

（2）正常的分法，将六边形分成四个三角形。学生对这样的分法进行评价，共同说明六边形的内角和的度数。

析书：六边形 180°×4

【运用转化的策略探究出五边形、六边形的内角和，在运用中充分暴露学生的问题，在讨论中分辨方法，去伪存真，让学生学会求出多边形的内角和。】

五、整理数据，观察发现内在规律

师：刚才我们研究了一些多边形的内角和，我们希望把研究的结果和过程都整理在表格中，除了多边形的名称，你还想整理哪些内容？（课件出示）

根据学生的回答，教师利用课件自动汇制表格，主要的栏目有：边数、分成的三角形的个数、内角和。

师：我们已经研究了一些多边形，先把研究好的结果填入表中。（学生口述，教师在课件上填写） 师：在你们的信封里也有这张表，请你取出来填一填。

填写要求：（1）填一填：用今天学习的方法把七边形与八边形的内角和求出来，并填在表里。（2）找一找，观察表里的这些数据，找一找它們之间的联系，想一想数据中藏着什么规律？（板书：找出规律）

交流：

（1）先汇报填写的结果。

（2）说一说你从这些数据中有什么发现？

预设：

（1）只看结果，每次内角和都增加180度。

（2）单列看数据变化，如分成的三角形个数每次增加1，边数每次增加1等。

备注：针对上述两种情况，教师先肯定他们是竖着看每一列中的数据，并发现了这些规律，同时提醒学生能否横向寻找数据之间的联系。

（3）三角形个数与内角和之间的关系，即能分成几个三角形，内角和就是180度乘几。

（4）边数与分成的三角形个数之间的关系，即分成的三角形的个数比边数少2。

师：你们发现了这么多的联系，那你能不能用一个公式表示多边形内角和的计算方法。

板书：多边形的内角和=（边数-2）×180°

师：如果知道多边形的边数，你能不能求出这个多边形的内角和？比如十二边形的内角和是多少度？一百边形的内角和是多少度？（列出算式） 【学生在制作表格的过程中，学会对数据进行整理和分析，通过对表格的横向或纵向观察，发现数据之间的联系，通过逻辑推理得出多边形内角和的计算方法。】

六、反思应用，深化学习内涵

师：现在我们可以回到开始提出的两个问题：今天研究的结果是什么？怎么研究的？

研究出多边形的内角和等于边数减2的差再乘180度。

研究时，先从简单的想起，按序思考，把多边形转化成三角形进行研究，并从得出的数据中找出规律，得到求多边形内角和的方法。

师：如果你们以后遇到一个复杂的问题，你们会怎么做呢？

师利用课件出示：

777777777×999999999=？

师：如果让你研究出算式的结果，你计划怎么做？

结合学生的回答逐行板书：

7×9=63

77×99=7623

777×999=776223

…………

找找规律，说一说原来算式的计算结果是多少。

师：今天不仅研究出了多边形内角和的计算方法，还掌握了研究复杂问题的一般步骤。今后遇到类似问题时，你们也要用今天学到的方法进行思考，那样你们会有更多的发现。

【与上课开始提出的核心问题相呼应，通过反思，学生进一步感受解决复杂问题、探索复杂规律所要经历的思考过程和基本步骤，通过方法的运用，学生在本节课学习中获得的数学素养得以深化。】■

（作者单位：江苏省苏州市吴江区盛泽实验小学）endprint