拓扑物理学的“初心”——谈凝聚态物理学中拓扑概念的引入

(南京师范大学物理科学与技术学院，江苏 南京 210023)

拓扑物理学的“初心”
——谈凝聚态物理学中拓扑概念的引入

熊烨①

(南京师范大学物理科学与技术学院，江苏 南京 210023)

本文介绍了拓扑物理学的开端，由狄拉克对磁单极子的讨论，介绍了什么是拓扑杂质，以及它们对所处空间的影响。更为重要的是类似的概念可以从真实的空间拓展到参数空间，其中的一个重要的例子就是量子霍尔效应，它使科学家第一次明确地引入了拓扑这个概念，并认识到其对某些可观察物理量的影响。

拓扑物理学；量子霍尔效应；拓扑杂质

拓扑物理学是近些年最活跃的物理学分支之一，通过对它的研究，科学家提出了很多新材料，相比于传统材料，拓扑材料将在能耗、物性等方面拥有巨大的优势。更为重要的是，这方面的研究加深了人类对物理学基本理论的认识，本文将着重介绍拓扑概念是如何被引入物理学的。

1 拓扑杂质与相位

20世纪初，量子力学的发展把波的相位放到了一个非常显著的位置，数学上它描述了波函数这个复函数的复角，其后这个相位也被引入到超导和超流系统，并在其中起着非常重要的作用，拓扑物理学的开端同样是从相位开始的。

拓扑是描述研究对象的一类特性，这些性质将不会随着拉伸或压缩这样的连续操作而改变。比如一个球面可以在一个方向上拉伸变成椭球面，或者适当压缩一下变成一个立方体的表面或者四面体的表面，但它不能通过上述方式变成一个甜甜圈的表面。拓扑在物理中出现可以追溯到上个世纪30年代狄拉克(Dirac)关于磁单极子的讨论，虽然当时并没有明确提出拓扑这样的概念。

以上讨论与拓扑相关的有两部分：第一，那个圆形回路可以任意变形，只要它还保持是一个封闭的曲线，我们的讨论都是有效的；第二，哪怕是在遥远的宇宙深处有这么一个磁单极子，由于距离遥远，我们已经不能通过它所发出的磁场感知它的存在，但它还会对我们这个世界上的电荷量子化产生影响，按照拓扑物理学的语言，我们可以称磁单极子为一个空间中的拓扑杂质。

磁单极子直到现在还没有被实验发现，但其他种类的拓扑杂质已经被实验所验证，比如超导中的量子化磁通、超流中的量子化涡旋，以及液晶中的结构杂质等。这里我们简单介绍一下超导中的量子磁通。描述超导体的一个基本物理量叫做超导的序参数，可以近似地把它想象为描述超导中电子对的量子波函数，所以这个序参数是个复数，它也有相位。在超导体中的任意一点，这个相位是个确定的值，与上面的情况类似，相位差为2π的整数倍就等于没有差别，所以超导体中可以穿透一些磁通，但这些磁通的大小必须使序参数在环绕这些磁通的封闭曲线上所积累的相位变化为2π的整数倍。所以这些磁通不能取连续值，它们必须是一个量的整数倍，这个量就叫做量子磁通。只要超导体中有一个量子磁通，那么不管离它有多远，或者走过了一条多么曲折的路径，只要环绕了这个磁通，那么序参数所积累的相位变化就必然是2π。图1显示了铁基超导体中有两个磁通涡旋时的样子。

2 拓扑与量子霍尔效应

以上我们所讨论的路径都是在真实的三维空间中，但类似的概念可以拓展到参数空间等任意空间，其中最著名的就是量子霍尔效应的研究[2]。在上世纪八十年代初，由于微电子工艺技术的发展，人们可以把电子约束在一个二维平面上，研究电子在这个低维系统中的运动特性。最初是实验发现在加入一个很强的垂直磁场后，二维电子系统表现出台阶状的霍尔电阻，在平台处时，直流电阻等于零。这无疑是一个非常有趣的实验现象，吸引了很多物理学家来研究它。

图1 两个铁基超导体上的量子磁通涡旋(a) 画出了超导序参数的大小，在涡旋中心序参数等于0；(b)-(e) 画出了总超导电流和它在三个d轨道上的分量。图片来源：B. Urangaet al.，Physical Review B 93, 224503(2016)。

劳克林(因为分数量子霍尔效应的研究获得1998年诺贝尔物理学奖)设想把这个二维系统卷成一个圆筒，通过法拉第定律说明了为什么会有量子化的霍尔电导[3]，这些量子化的霍尔电导就对应于一个一个的霍尔电阻的台阶。劳克林的讨论说明了一个重要的因素：这个系统中量子波函数的相位信息在宏观尺度上必须保持相干性，现在称这类现象为宏观量子现象，超导、量子霍尔效应都属于这一类现象。在我们平常的生活中，量子的相位信息由于退相干效应在很短的尺度上就不再相干了。其后索利斯(由于对拓扑物理学的研究获得2016年诺贝尔物理学奖)等几位教授使用线性响应理论计算了霍尔电导，他们发现这个电导与一个拓扑数——陈数直接相关。陈数是为纪念我国的数学家陈省身先生而命名的一个拓扑数学量。这是拓扑数学的研究第一次被引入物理学真实系统中。这里有一个小花絮，2016年诺贝尔物理学奖获得者之一的科斯特利茨在回忆他们获奖的工作时，提到是索利斯教授坚持把他们的研究成果称为拓扑相变，这表现出索利斯教授对拓扑物理学的深刻认识。

最后简单说说陈数在物理中的意义，我们的讨论是在一个二维的波矢空间而不是二维真实空间，这个波矢空间是由于研究对象的平移对称性而存在的参数空间。波矢空间中的每个点都有相对应的量子波函数，可以简单地把这个波函数用一个二维球面上的点来表示。现在想象有一把刷子在这个球面上刷漆，刷子的位置就是由波矢空间的点来确定的。当我们扫过二维波矢空间的所有点时，刷子也对应地在球面上刷，这里会有两种情况：一种是随着扫过波矢空间中的所有点，刷子总是局限在球面上的某一个区域上刷来刷去，它没有刷过整个球面，这时陈数就等于零；还有一种情况是刷子绕着球面把整个球都刷了个遍，则此时对应的陈数就是非零的整数。这两种情况不可能通过连续的拉伸或压缩变换相互转化，这就是为什么叫它为一种拓扑数的原因。

3 结语

拓扑物理学的研究发轫于量子霍尔效应的研究，它使我们拓展了思路，可以研究在波矢空间或其他的参数空间内的拓扑性质对物理系统的影响。现在丰富多彩的拓扑物理学研究都可以看成这一概念加上对称性约束之后的自然延伸。

[1] Dirac P.A.M. (1931). Quantised Singularities in the Electromagnetic Field[J]. Proc. Roy. Soc. London, 133,60.

[2] Klitzing K.V. et al. (1980) .New Method for High Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance[J]. Phys. Rev. Lett.45,494.

[3] Laughlin R.B. (1981).Quantized Hall Conductivity in Two Dimensions[J]. Phys. Rev. B , 23, 5632.

①名师简介：熊烨(1977- )，男，江苏南京人，美国俄克拉荷马州立大学物理学博士，南京师范大学物理科学与技术学院副教授、硕士生导师，研究方向为凝聚态物理。