排列组合、二项式定理知识结构与拓展

■河南省南阳市第一中学 王 策

排列组合、二项式定理知识结构与拓展

■河南省南阳市第一中学 王 策

一、知识结构框架

二、结构分析

本章是高中数学中相对独立的内容,也是密切联系实际的一部分。正确区分和使用两个原理是解决计数问题的关键。利用分类计数原理时,所分的每一类都可以独立地解决问题。利用分步计数原理时,需要依次完成每一步才能解决问题;仔细审题,分清允许重复还是不允许重复,才能正确选择利用排列还是组合。两个基本性质(组合数的两个性质)、两个基本公式(排列数公式和组合数公式)、组合数的两个性质、两个基本规定(0!=1和C0n=1)是进行运算的利器。有些复杂的问题,既要“分类”,又要“分步”,应明确按什么标准“分类”、“分步”,不同的标准,可以有不同的解法,解题时应择优而行。

(a+b)n其实就是n个a+b相乘,在每一个a+b中选择a还是选择b是个问题,通项公式解决了这个问题。展开式包含了次数、项数、系数、顺序等诸因素,其中最丰富的是二项式系数的性质,熟练掌握这些基本理论和基本方法是解决二项式问题的基础。

三、实例分析

例1 3本相同的小说和2本相同的诗集全部分给4名同学,每名同学至少1本,则不同的分法有( )。

A.2 4种 B.2 8种 C.3 2种 D.3 6种

解析：把5本书分给4名同学,每名同学至少1本,那么这4名同学中有且仅有1名同学分到2本书。

解法1：分类优先。设3本相同的小说都是a,2本相同的诗集都是b,则1名同学分到2本书有三类情况:第一类a a、a、b、b,这种情况有);第二类b b、a、a、a,这种情况有第三类a b、a、a、b,这种情况有。总共有2 8种。

小结：解法1明显优于解法2,分步时如果第一步结束后造成第二步情况复杂,那么就可以把第一步转化成不同的类,再整体考虑,从而使解题思路更清晰,更有条理。

解 析 ：Tr+1=令6-2r=2,解得r=2,所以x2的系数为

小结：求二项展开式中的指定项,一般是先化简通项公式,再令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),最后解出项数r+1,代回通项公式即可。

例3 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究。设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得的余数相同,则a称b和对模m同余,记为a=b(m o dm)。若a=b(m o d 1 0),则b的值可以是( )。

A.20 1 1 B.20 1 5 C.20 1 7 D.20 1 9

解析：因为a=(1+2)20=320=910=(1 0-1)10=所以被1 0除得的余数为1,而20 1 1被1 0除得的余数是1,故选A。

四、跟踪练习

1.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味。若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有( )。

A.1 4 4种 B.2 8 8种

C.3 6 0种 D.7 2 0种

解析：《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词排列全排列共有A44种,满足《将进酒》排在《望岳》的前面的排法共有种,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里(最后一个空不排),有种排法,《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后,则后六场的排法有=1 4 4(种),故选A。

(责任编辑 刘钟华)