小知识,撼动大智慧——二项式定理的灵活妙用

■河南省商丘市第一高级中学 张丽芳 李天罡

小知识,撼动大智慧
——二项式定理的灵活妙用

■河南省商丘市第一高级中学 张丽芳 李天罡

纵观近几年高考试题,对二项式定理这一内容进行了多层次、全方位的考查。从题型来看,主要有求常数项、特定项、有理项、系数(或二项式系数)最大(或最小)项、整除或余数问题、赋值法求相关代数式的值、综合应用等;从考查形式来看,多以选择题和填空题的形式出现。总体来说,历年来高考对于二项式定理的考查,主要体现为:(1)注重学生对常规思想、方法和题目的考查,凸显解题的通性及通法,考查学生对基础知识的掌握及运用;(2)通过巧妙变形,题目形成了小巧灵活、形式多样的格局特点,考查学生对所学知识的灵活运用能力;(3)高考题目有些以二项式定理为载体,通过与其他知识的融合,凸显出向思维能力和计算能力综合化进行考查的发展趋势,以充分体现高考选拔性这一宗旨。

1.二项展开式中的特定项或特定项的系数。

中,第六项为常数项。(1)求n;

(2)求含x2的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项。

解题思路：利用二项式定理直接解决。

方法点拨：(1)解此类题可以分为两大步完成。第一步,根据所给出的条件和通项公式,建立方程来确定指数;第二步,根据所求的指数,再求所求的项。(2)有理项是字母指数为整数的项。

2.求展开式中各项系数的和。

例2 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0。求:

(1)a7+a6+…+a1;

(2)a7+a5+a3+a1,a6+a4+a2+a0。

解题思路：典型的赋值法,分别令x=1与x=-1即可得出结果。

解：(1)令x=0,则a0=-1。

令x=1,则a7+a6+…+a1+a0=27=1 2 8。 ①

所以a7+a6+…+a1=1 2 9。

(2)令x=-1,则-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7。 ②

由①②可得a7+a5+a3+a1=82 5 6,a6+a4+a2+a0=-81 2 8。

方法点拨：“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法。对于形如(a x+b)n,(a x2+b x+c)m的式子求展开式的各项系数之和,常用赋值法。

3.二项式定理的应用。

例3 (1)已知n∈N*,求1+2+22+23+…+24n-1除以1 7的余数;

(2)求(1.9 9 9)5精确到0.0 0 1的近似值。

图1

解题思路：(1)利用等比数列求和→含1 7的二项式→求系数。(2)转化为二项式→展开→求值。

第三项T3=C2523(0.0 0 1)2=0.0 0 00 8<0.0 0 1,所以以后各项的绝对值更小,可以忽略,所以(1.9 9 9

方法点拨：(1)二项式定理的一个重要用途就是做近似计算。当n很大,x 比较小时,(1+x)n=1+n x。(2)利用二项式定理可以证明整除问题或求余数问题,在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项含有除式的因式,要注意变形的技巧。

二项式定理这个知识点的考查,比较灵活,一般是中低档题,比较符合我们新课改的要求“让学生动起来,让每一个学生成为自己学习的主人”。该部分知识的学习可以使同学们的思维更开阔、更灵活,有助于良好学习习惯的形成。

(责任编辑 王福华)