分部积分法的解题方法浅析

刘风云

摘 要：分部积分法是计算积分的重要方法之一。本文以不定积分为例，介绍了分部积分法的几种方法，包括口诀法和列表法，以帮助学生在使用分部积分法计算积分时较快速的确定u和dv，从而达到解题的目的。

关键词：不定积分；分部积分法；口诀法；列表法

微分学和积分学是微积分的两大主要内容。对于积分的计算方法，常用的有公式法、第一换元法（即凑微分法）、第二换元法和分部积分法。其中，分部积分法是乘积微分公式的逆运算，主要针对于两个不同类型的函数乘积的积分。但是对于如何选取u和dv，很多学生却难以掌握从而导致积分失败。本文结合自己的教学经验，谈一谈在使用分部积分法时的一些解题技巧。

一、分部积分公式

（1）和（2）式叫做分部积分公式。当积分∫udv不易计算，而积分∫vdu比较容易计算时，就可以使用这个公式。分部积分法的关键在于选取u和dv，如果选取不当，极有可能使得积分的计算更加复杂。一般说来分部积分法对于u和dv的选取原则是：（1）v要容易求出来；（2）∫vdu 比∫udv容易计算。

二、口诀法

分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，而基本初等函数共有六大类，除常数函数外，还包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数（以下简称幂、指、对、三、反）。我们发现，指数函数和三角函数的导数仍是指数函数和三角函数；幂函数的导数仍是幂函数，但阶数会降低；而对数函数和反三角函数的导数则变了类型。由此可得在使用分部积分法计算积分时选取u和dv的优先级顺序：反对幂三指，在前者为u。

在计算积分时按照此口诀即可达到事半功倍的效果。具体计算步骤为：

（一）分拆。将被积函数分拆为两个函数的乘积，若该两个函数是不同类型的则可用分部积分法；

（二）判断。判断两个函数分属哪种类型；

（三）选取。按照口诀确定u；

四、总结

分部积分法在使用时限制比较大，并且往往需要结合其他積分方法使用。学生在计算积分时要先判断积分类型，然后选取适当方法才能少走弯路成功解题。

参考文献：

[1]王书华.关于分部积分法使用的几点思考.塔里木大学学报[J]，2009，21（1）：54-56.

[2]石卫国.分部积分法教学札记.安康学院学报[J]，2010，22（4）：107-108.

[3]袁秀萍.分部积分法的应用技巧.高等继续教育学报[J]，2010，23（5）：22-23.

[4]庞通.分部积分法的竖式探讨.广西教育学院学报[J]，2010（4）：179-181.endprint