导数在函数解题中的几点应用
2018-01-10顾准山
顾准山
(江苏省镇江市第四中学,江苏镇江 212000)
导数在函数解题中的几点应用
顾准山
(江苏省镇江市第四中学,江苏镇江 212000)
函数作为高中数学的主要知识点,始终是高考的重点与热点,而导数作为解决函数问题的重要工具,其重要性不言而喻。本文对导数知识进行了综合梳理,对运用导数知识解决函数问题进行了分类总结,对提升学生分析问题、解决问题的能力有较好的指导作用。
导数;函数;应用
引 言
现行高中数学教材中,导数作为解决数学问题强有力的工具,是初、高等数学知识的重要衔接点,渗透和加强了对学生从有限到无限、从量变到质变的辩证思想的教育,突破了许多初等数学在思想上的桎梏,拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧[1];另一方面,导数具有很强的知识交汇能力,与多个章节内容都联系紧密,尤其是函数部分,由于函数是高考的重点和热点之一,而导数是研究函数的重要工具,所以导数的地位正在不断加强,对导数应用考查的广度和深度也在不断加重。
一、导数的物理意义和几何意义
导数的物理意义:如函数s=s(t)在t0处的导数s'(t0),就是物体在时刻t0时的瞬时速度v,即v=s'(t0);函数v=v(t)在t0处的导数v'(t0),就是物体在时刻t0时的瞬时加速度a,即a= v'(t0);降雨强度是降雨量关于时间的导数等。
导数的几何意义:曲线y=f(x)在x0处的导数f '(x0),就是曲线在x0处的切线的斜率k,即k=f '(x0)。
例1:在抛物线y=x2上存在一点P,使得点P到直线2x-y-4=0的距离最短,则点的坐标是 (1,1)
二、导数在研究函数中的应用
1.求曲线在(过)某点的切线方程
例2:求曲线y=x3-3x过点P(2,2)的切线方程。(y=0或y=9x-16)
分析:即使点(2,2)恰好在曲线上,由于是求“过”(而不是“在”)点P处的切线方程,仍然要考虑两种情况,一是点P就是切点,二是点P不是切点,可以设出切点坐标,利用切线斜率的两种表示方法解出切点坐标,从而解决问题。
2.解决函数单调性有关的问题
导数与函数的单调性的关系:①f '(x)>0是f (x)为增函数的充分不必要条件;②f '(x)≥0是f (x)为增函数的必要不充分条件。因此f (x)在某区间上递增在该区间上恒成立,f (x)在某区间上为递减在该区间上恒成立。值得注意的是,求函数的单调区间一定要先求函数的定义域。
3.求函数的极值与在闭区间上的值域
求函数极值点的一般步骤:先求导,令导数为零,再根据导函数判断零点两边的单调性,得出函数的极值点。
注意:导数为0的点(称为驻点),不一定是极值点;但在导函数存在的前提下,极值点的导数值必为0。
例3:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,求a+b的值。
求函数值域的一般步骤:求出函数在闭区间上的极值,再与区间端点比较大小即可。
例 4:已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线 y=f(x)上的某点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1;
(1)设函数f(x)在x=-2处有极值,求出f(x)的表达式;(f(x)=x3+2x2-4x+5)
(2)在(1)的条件下,求出f (x)在[-3,1]上的最大值;(f(x)max=f(-2)=13)
(3)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求出b的取值范围。(b≥0)
分析(3):函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,所以f ' (x)≥0在该区间上恒成立,然后分离变量,转化为函数的最值问题求解。
4.利用导数证明不等式
基本原理:欲证不等式f(x)>g(x),构建函数h(x)=f(x)-g(x),只要求出函数h(x)的最小值,证明此最小值大于0即可。
例5:设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2,已知x=-2和x=1为f(x)的极值点。
(Ⅰ)求a和b的值;(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;
解:(Ⅰ)因为f ' (x)=ex-1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex-1(x+2)+x(3ax+2b),又x=-2和x=1为f(x)的极值点,所以f ' (-2)=f '(1)=0,
因为x∈[1,+∞)时,h' (x)≥0,所以h(x)在x∈(1,+∞)上单调递增。
故x∈[1,+∞)时,h(x)≥h(1)=0。所以对任意x∈[-∞ ,+ ∞ ),恒有 h(x)≥ 0,又 x2≥ 0,因此 f(x)-g(x)≥0,故对任意x∈(-∞,+∞),恒有f(x)≥g(x)。
5.利用导数求方程根的个数
一般步骤:求出对应函数的单调性,求出极值,做出草图,即可解决。
例 6: 已 知 函 数 f(x)=x+a,g(x)=x2+3x+2,F(x)=f(x)·g(x),①若F(x)在(-1,1)上为减函数,求a的取值范围;②若y=f (x)的图像与y=g(x)的图像相切,试讨论关于x的方程F(x)=k (k∈R)的实根个数。(当或k<0时,有一个实根;当或k=0时,有两个实根;当时有三个实根)
6.优化实际问题
例7:水库的蓄水量随时间而变化,现用t表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水量(单位:亿立方米)关于t的近似函数关系式为
(Ⅰ)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期,以i-1<t<i表示第i月份(i=1,2,…,12),问一年内哪几个月份是枯水期?
(Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算)。(08湖北)
②当10<t≤12时,V(t)=4(t-10)(3t-41)+50<50,
综合得0<t<4,或10<t≤12,
故知枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到。
令V′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去)。
当t变化时,V′(t) 与V (t)的变化情况如下表:
(4,8) 8 (8,10)V′(t) + 0 -V(t) 极大值t
由上表,V(t)在t=8时取得最大值V(8)=8e2+50≈108.32(亿立方米)。
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。
结 语
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。导数物理意义和几何意义明确,在研究函数中的应用可以体现在以上求曲线在(过)某点的切线方程,解决函数单调性有关的问题,求函数的极值与在闭区间上的值域,利用导数证明不等式,优化实际问题等方面[2]。通过综合梳理、分类总结导数在函数解题中的应用,希望对提升学生分析问题、解决问题的能力有较好的指导作用。
[1]邹生书.函数极值点偏移问题的三种求解策略[J].中学数学教学,2017,(03):42-44.
[2]夏峰,邓慧.导函数零点问题的转化求解[J].高中数理化,2017,(Z1):19.
顾准山(1973),男,江苏镇江人,本科学历,中学数学高级教师。