重视过程 培养能力 提高素质——谈我对“三角形内角和定理”一课的处理

吴晋

（昆明经济技术开发区第一中学，云南昆明 650217）

重视过程 培养能力 提高素质
——谈我对“三角形内角和定理”一课的处理

吴晋

（昆明经济技术开发区第一中学，云南昆明 650217）

数学课程改革以培养学生创新精神和实践能力为重点，注重科学探究，提倡学习多样化，“从生活走向数学，从数学走向社会”。实验探究教学就是连接数学和生活的纽带。因此，在数学实验教学中，教师应运用自己的智慧和魅力不断地培养学生的创新能力和发散思维能力，鼓励学生大胆实验，小心求证，能使学生对实验问题的理解不落俗套，敢于求异；在解决实际问题时能够不拘一格，多方设法。这既能摆脱习惯思维的束缚，拓宽思维范围，又能使创造性思维能力得到发展，以适应当前素质教育的需要。本文作者以人教版《八年级数学》上册中11.2“三角形内角和定理”探索的一节公开课为例，采用自主探索的方式，让他们在动口、动眼、动耳、动手、动脑、动笔的过程中去体验、感悟，去探究、发现，使学生不但理解掌握了这一定理，而且从中学到了研究数学问题的方法，体会到勇于探索的快乐。

数学实验探究教学；学习多样化；创新精神；实践能力

新课程的教学理念告诉我们，教师在教学过程中，主体作用应该逐渐隐蔽、逐渐减少，应让学生的主体凸现出来，让他们自己去体验、感悟，去探究、发现。数学教学要适应现代教育的改革要求，进一步强化素质教育最主要的是对学生进行科学素质的教育，使学生在数学学习中受到科学方法、科学思维和科学态度等多方面的训练，这对他们今后从事任何职业都将受益无穷。

“寓教于乐”是对青少年教育的一条基本原则，我们每个人的启蒙教育都是从游戏中开始的。现行初中数学教材比以往数学教材增加了许多探究，其中更是增添了不少学生思考及教学活动。

笔者在上《八年级数学》上册中11.2“三角形内角和定理”探索的一课时，就做了一点这方面的尝试。笔者将这节课设计为探索性课，创设问题情境，让学生不断进行实验操作、观察、抽象出几何图形，启发学生运用逻辑思维、推理、归纳等方法，通过不断的“实验——结论——再实验——再结论”，用自主探索的方式完成，使学生不但理解掌握这一定理，而且从中学到了研究数学问题的方法，体会到勇于探索的快乐。并且这样的过程可以更好地培养他们的创新能力和发散思维能力。在“提出问题——求解问题——解决问题”的过程中加强了探究意识。为今后有效地学习数学奠定了坚实的基础。

1 透视教材

众所周知，“三角形内角和定理”是人教版初中数学八年级上册第十一章第二节的内容。“三角形内角和定理”是三角形的一个重要性质，是“空间与图形”领域的重要内容之一，三角形的内角和定理是从 “数量关系”来揭示三角形三个内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，并且是计算角的度数的重要定理之一。在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。其中辅助线的作法是把新知识转化为旧知识、用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础，三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。因此它是平面几何中的一条重要定理，它的探索过程是一个教学重点。

1.1 从探索方法来看

“三角形的内角和”其定理的抽象性和知识的复杂性比前面的知识高了一个层次。前面的学习是通过实验得出的，通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差，试验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原因，一般说由观察、试验等所产生的结论未必正确。例如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是180°，可能有的会比180°大一些，有的会比180°小一些。因此仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力。例如，即使不考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是180°时，学生还会有疑问：“不同形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余的三角形的内角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个。因此，要确认“三角形内角和等于180°”，就不能仅依靠度量的手段和观察、试验、验证的方法，而必须进行推理论证——从道理上得出“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于180°”。从而向学生说明证明的必要性，同时说明今后在几何里，常常用这种方法得到新知识，而定理的证明需要添辅助线，让学生明白添加辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要思想方法，它同代数中设末知数是同一思想。

1.2 从教材涉及的内容来看

“三角形的内角和”定理涉及的内容较多，比如平角定义，添加辅助线解决数学问题，欧氏几何中的平行公理，平行线的性质等等，它们之间的关系紧密相连，内容上充分体现认知过程，在讲授时，必须给学生提供探索与交流的时间和空间。在教学中，强调学生通过“做数学”来进行探索，加强实验几何的成份，而实验几何是发现几何命题和定理的有效工具，在培养学生的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用。有了一定的经验积累，就可以进行理论论证。这样就可以将实验几何与论证几何有机结合。而论证几何在培养学生的逻辑思维能力方面起着重要作用。“三角形的内角和定理”的证明借助了平行公理、平角定义，平行线的性质。用辅助线将三角形的三个内角巧妙地转化为一个平角或两平行线间的同位角、内错角、同旁内角，为定理的证明提供了必备条件。尽管前面学生接触过推理论证的知识，且有了初步的论证意识，但是在论证的格式上，没有经过很好的锻炼。因此定理的证明应是本节引导和探索的重点。辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，只要教师设置恰当的问题情境，学生再由实验操作、观察、抽象出几何图形，用自主探索的方式完成，并且这样的过程可以更好地发展他们的创造能力和实验能力。如果探索的深度不够，就不能有效地将实验几何上升到理论论证几何的高度。

1.3 从学生的已有知识水平来看

大多数学生的抽象思维和空间想象能力还比较低，对数学知识的理解、判断、分析、推理时常常表现出一定的主观性、片面性和表面性，要能够正确证明“三角形的内角和定理”，必须具有一定的逻辑思维及推理能力，还要引导学生对三角形作更全面的思考，通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展，在数学观念上要有所更新。

2 展示教法

在教学方法上，笔者采用了新课标倡导的“自主、合作、探究”的学习方式，积极引导学生全员动手、思考、理解和探索。笔者采取了如下的教学方法：首先作好演示实验，使学生在头脑中先建立起感性认识，为升华到理性认识作好准备。但是，数学实验的演示不但要演示操作、演示、观察，更要演示对实验对象的分析，通过学生画、量、撕拼、折拼、观察等活动，培养学生的探索发现、动手操作能力及发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。那种急于用实验现象、数学事实建立概念与归纳规律，而忽视通过实验培养学生探索数学结论（定理）的能力的做法，显然与当前大力提倡的培养具有创新人才的做法相违背。具体做法如下。

2.1 复习旧课，作好铺垫

数学课中的活动归根结底无非就是尽量让学生动口、动眼、动耳、动手、动脑、动情。那么，要使学生生动活泼地动起来，且动得有价值、有新意、有活力，就必须不断尝试新的组合、新的形式，要想旧中求新，就必须稳中求变。从复习旧课开始引入新课，充分体现知识的科学性和系统性，而且还为本节课最终的证明打好基础。认真复习以前学过的内容（相交线与平行线），使学生明确这样四点：（1）三角形的内角（三个）：三角形中相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。（2）平角定义：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫平角。1平角=180度。（3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（4）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。

2.2 提出问题，引入新课

创设问题情境，以活动为主线，扩大实验成果。以问题导航，借助丰富、活泼、深入的实践，增强学生的数学思维品质。学生要获得真知，就必须在参与活动的过程中体验、尝试、改造，必须去“做”，因为“经验”都是由“做”得来的。基于这一点在教学实际中可以从以下几点切入。

［提出问题］任意三角形三个内角的和是多少度,你知道吗?

我们可以尝试做如下操作。

（1）请每位同学任意画一个三角形，用量角器认真量出这个三角形的三个内角的度数（强调，必须三个都量，不准只量出两个）并记录（结果精确到0.1），再将三个内角的度数求和。很多同学一个角一个角来量，算出了三个角度数的和，结果并不是正好180°。

（2）折纸方法演示，其中一条折痕要和一边平行，另二条折痕要和这边垂直。强调折后的三个角顶点重合在一条直线上，说明三个角形成一个平角，三角形的内角和是180°。用这种方法在不同类型的三角形上试一试，让学生们分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形上折一折。如图（1）所示。

图（1）

还可将直角三角形的两个锐角都折向直角，与直角重合，说明这两个锐角的和是90°，再加上直角，三个角就是 180°。

（3）撕拼方法，把三个角中的其中两个角撕下来，拼一拼，也可以拼成一个平角。演示，让学生剪下2个角后，为避免次序乱了，在角上编号，剪角时不是沿着折痕剪，而是任意剪，但是按照编号顺序，很快就拼成了平角，如下图，思考，这种方法隐含了什么性质定理（平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，即剪角拼接后，构成2组相等的内错角，得AE∥BC，AF∥BC，而经过直线BC外一点A，有且只有一条直线与直线BC平行，可证点E、A、F在同一条直线上，所以∠1、∠2、∠3在点A 形成平角180°）。

可以看出，在这个探索的过程中，学生可以将实验操作上升到了理论证明的台阶上。而在解决这些问题的过程中，也引出了添加辅助线的重要思想方法，这种方法是最科学的一种方法。也是后边证明方法中的其中之一。学生体验到了探索的方法。

（4）动态方法演示，用一枝铅笔EF沿A→B→C→A运动，铅笔EF回到起点A时刚好旋转180°。方法如下：①铅笔EF从点A出发（点E在前，点F在后），当点E与点B重合时，以B（E）为圆心，顺时针方向旋转∠ABC的角度，此时点F落在线段BC上 （E与B重合）；②铅笔EF继续由B向C运动，当点F与点C重合时，以C（F）为圆心，顺时针方向旋转∠BCA的角度，此时点E落在线段CA上（F与C点重合）；③铅笔EF继续由C向A运动，当点E与点A重合时，以A（E）为圆心，顺时针方向旋转∠CAB的角度，此时点F落在线段AB上（E与A点重合），铅笔EF到达最终位置，此时与起始位置相比，铅笔EF可以看出刚好刚好旋转180°，而铅笔EF在运动过程中转过三个旋转角∠ABC、∠BCA、∠CAB， 即∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，所以可以说明“三角形的内角和是180°”。

2.3 指出重点，进行证明

通过演示，学生脑海中有了一定的感性认识，但对于七年级的学生，还要认识到证明的必要性，思想不能还停留在原来的认识上，应该想得更全面更深刻。因此运用已学过的知识证明“三角形内角和定理”成为本节课的重点。并且在教学中要引导学生对三角形作更全面的思考，通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

（1）引导学生分析“三角形的内角和等于180°”这个命题的条件和结论。根据前面给出的公理和定理，引导学生的证明思路，避免只看热闹，不看门道。

如图，已知：△ABC.

求证：∠A+∠B+∠C=180°

方法1：如图1，延长BC到D，过C作CE∥AB，证明∠ACE=∠A，∠ECD=∠B即可。

方法2：如图 2，过顶点 A作直线 DE∥BC，证明∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C 即可。

方法 3：如图 3，过 C点作射线 CD∥AB，则∠ACD＝∠A，利用平行线的性质也可证得结论。

图1

图2

图3

学生通过自主探索，得出以上几种辅助线的作法。及时引领学生发现、总结证明的思想。

（2）引导学生对三角形作更全面的思考，通过一题多解，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。在上述问题中提出“通过添加辅助线，运用平行线的性质，把三角形三个角‘凑’到一起，构成180°”的思路。

在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到边上的任意一点，把三个角“凑”到三角形内的一点，把三个角“凑”到三角形外的一点来证明呢？

方法4：如图4，在边BC上任取一点P，过P作PM∥AB，PN∥AC，只要证明∠MPC=∠B，∠NPB=∠C，∠NPR=∠A即可。

方法5：如图 5，在△ABC内任取一点 P，过P作MN∥AB，QR∥BC，ST∥AC，证明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

方法6：如图 6，在△ABC外任取一点 P，过P作MN∥AB，QR∥BC,ST∥AC， 证明∠SPN=∠A，∠NPR=∠B，∠SPQ=∠C即可。

图4

图5

图6

学生可依据自己寻求的思路，运用数学符号和语言条理清晰地写出证明过程。

这样，我们就用多种方法探索并证明了三角形的内角和是180°的定理，由实验几何上升到理论证明，强调证明的重要性，以使学生形成严谨的思维习惯，达到提高学生逻辑思维能力的目的，要求学生用所学的方法去一一验证这个猜想结论的正确性。学生在老师的引导下,参与了问题探究的全过程。不仅对知识理解更透彻,掌握更牢固,而且从中受到观察、猜想、分析与转换等思维方法的启迪,思维品质获得了培养,同时学生也从探索的成功中感到喜悦,使学习数学的兴趣得到了强化，知识得到了进一步发展。而在教学中，变换了多种训练形式，变换出多种题型，变换出多种思维的角度和方法，由此让学生活跃起来，视野开阔起来，情感丰富起来，个性发挥出来。

新课程所倡导的学生学习方式就是自主、探究、合作。因此数学课堂上学生的主要活动是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动。教师不仅要鼓励学生参与，而且要引导学生主动参与，才能使学生主体性得到充分的发挥和发展，让学生以研究者的身份，参与包括探索、发现等获得知识的全过程。教师着力引导多思考、多探索，让学生学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题以及亲身参与问题的真实活动之中，只有这样，才能使学生亲身品尝到自己发现的乐趣，才能激起他们强烈的求知欲和创造欲。只有达到这样的境地、才会真正实现主动参与。使其体会到通过自己的努力取得成功的快感，从而产生浓厚的兴趣和求知欲，激发学生的学习兴趣，让学生学有动力。

[1]黄翔,李开慧.关于数学课程的情境化设计[J].课程·教材·教法,2006(9):39-43.

[2]郑毓信.数学教学的有效性与开放性[J].课程·教材·教法,2007(7):28-32.

[3]马彩艳.中小学三角形知识分布及其教学研究[D].陕西师范大学,2014.

G633

A

2096-4110（2017）03（c）-0083-03