一类(n+2)维n-李代数结构的研究

吴兴慧 颜蓉

【摘要】本文研究了导代数维数是1时，（n+2）维n-李代数的乘法表，并且计算了导代数维数是1时，（n+2）维n-李代数的乘法表与内导子结构.

【关键词】（n+2）维n-李代数;乘法表;内导子结构

n-李代数是李代数的推广.研究n-李代数的结构形式对动力系统的发展有着重要作用.在数学、物理学中都有着重要应用，特别是度量3-李代数的结构特征在弦理论及BLG理论中有着极其重要的作用.因此，对n-李代数结构研究有着重要意义.本文重点研究一类特殊的（n+2）维 n-李代数的结构.

定义1[1] 设n-李代数A是域F（ch（F）≠2）上的向量空间，具有n-元线性运算，也称n元方括号运算[x1，x2，…，xn]，对于任意的x1，x2，…，xn，y2，…，yn∈A，[x1，x2，…，xn]满足

[x1，x2，…，xn]=sgn（σ）[xσ1，xσ2，…，xσn]，

[[x1，x2，…，xn]，y2，y3，…，yn]=∑ni=1[x1，…[xi，y2，y3，…，yn]，xi+1，…，xn]，

其中σ∈Sn，当σ是偶排列，sgn（σ）=1;当σ是奇排列，sgn（σ）=-1.

定义2[1] 设A是任意n-李代数，对任意的x1，x2，…，xn∈A，线性变换

R（x1，x2，…，xn-1）：A→A，

（xn）R（x1，x2，…，xn-1）=[xn，x1，x2，…，xn-1]，

称为由元素x1，x2，…，xn-1∈A决定的右乘算子.

定义3[2] Z（A）={x|[x，A，…，A]=0}称为A的中心.

引理1[3] A是特征为0的代数闭域F上的（n+1）维n-李代数（n≥3），e1，e2，…，en+1是A的基，dimA1=1，在同构意义下，A的乘法表有两种情况为：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1.

或（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

引理2[4] A是特征为0的代数闭域F上的（n+2）维n-李代数（n≥3），dimA1=1，则存在余维数为1的包含A1的非Abel子代数.

下面的陈述中，假设F是特征为0的代数闭域，并且任何没有在乘法表中列出的n-李代数的方括号运算为0.

定理1 A是域F上的n+2维n-李代数，e1，e2，e3，…，en+2是A的基，dimA1=1且A1=Fe1，则在同构意义下，A的乘法表有两种情况如下：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

证明 由引理2知，存在n+1维n-李代数包含A1，则A的乘法表有以下两种可能

（1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=aije1，aij∈F，1≤i<j≤n+1，

（2）[e1，e2，e3，…，en]=e1，

[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=aije1，aij∈F，1≤i<j≤n+1.

先讨论第（1）种情况，当i>1时，把（1）中的[e2，e3，e4，…，en+1]=e1代入（1）中第二个等式中，得

aije1=[e1，…，êi，…，êj，…，en+2]=[[e2，e3，e4，…，en+1]，…，êi，…，êj，…，en+2]=0，

即aij=0（1<i<j≤n+1）.

所以（1）等价于

（1）′[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

[ê1，e2，…，êj，…，en+2]=a1je1，a1j∈F，2≤j≤n+1.

注意到，当n为奇数时，用en+2-a1，n+1en+1+a1，nen-…+a13e3-a12e2替代en+2，得

[ê1，e2，…，êj，…，en+2-a1，n+1en+1+a1，nen-…+a13e3-a12e2]=0.

当n为偶数时，用en+2-a1，n+1en+1+…-a13e3+a12e2替代en+2，得

[ê1，e2，…，êj，…，en+2-a1，n+1en+1+…-a13e3+a12e2]=0.

所以（1）′等价于

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1.

同理讨论（2），得（2）等价于

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

因為（a1）中A1Z（A），（a2）中A1Z（A），即（a1）与（a2）不同构.所以A的乘法表有两种情况如下：

（a1）[e2，e3，e4，…，en+1]=e1，

（a2）[e1，e2，e3，…，en]=e1.

证毕.

下面讨论A的内导子结构.其中Eij表示（i，j）位置值为1，其余位置值为0的矩阵.对任意的导子R∈ad（A），R对应的矩阵形式为R=∑ni，j=1aijEij.

定理2 设A是域F上的n+2维n-李代数，e1，e2，e3，…，en+2是A的基，dimA1=1且A1=Fe1，有下列结论成立：

（1）A的乘法表是（a1）时，A的内导子结构为

ad（A）=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1，1，

且ad（A）是维数为n的可交换李代数.

（2）A的乘法表是（a2）时，则

ad（A）=MFE11，

其中M=FE21+FE31+FE41+…+FEn，1是可交换的理想，并且dimad（A）=n.

证明 （1）A的乘法表为（a1）时，当2≤j

（ei）R（e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+2）=[ei，e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+2]=0.

又因为（ei）R（e2，…，êj，…，en+1）=[ei，e2，…，êj，…，en+1]=（-1）je1，

所以R（e2，…，êj，…，en+1）=（-1）jEj1，2≤j≤n+1.

即R（e2，…，êj，…，en+1），2≤j≤n+1是ad（A）的一组基.

所以ad（A）=FE21+FE31+FE41+…+FEn+1，1且dimad（A）=n.

又因为[Ei1，Ej1]=0（i，j=2，3，…，n+1），

所以ad（A）是维数为n的可交换李代數.

（2）A乘法表为（a2），当1≤j<k<l≤n+1或1≤j<k<l≤n+2（j，k，l≠n+1）时，

（ei）R（e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+1，en+2）=[ei，e1，e2，…，êj，…，êk，…，êl，…，en+1，en+2]=0.

又因为（ei）R（e2，…，êj，…，en）=[ei，e1，e2…，êj，…，en]=（-1）j+1e1（i=j），

令M=FE21+FE31+FE41+…+FEn，1，

因为[Eji，E11]=Ej1，[Ej1，Ei1]=0，

M是可交换的理想，并且dimad（A）=n，ad（A）=MFE11.

证毕.

【参考文献】

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