巧用变式训练 增强学生兴趣

王磊

在中学数学中数学思想主要有五个：整体思想、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合与分类讨论思想.而“类比”思想作为一种重要的思维方法在数学教学中有着特殊的作用.纵观近几年的数学中考题可以发现，中考尤其重视对数学思想方法的考查，不论是基础题，中档题，还是压轴题无一不显露这样的特点.其中近几年对“类比”思想的考查显得较为频繁，充分体现了“类比”思想的重要性.笔者想利用本文对其中一题进行总结与剖析，供大家交流.

例题 如图1所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F.设正方形边长为4，AE=x，BF=y，当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值.

分析 根据题意可知，这是一道典型的利用“同角（等角）的余角相等”的题目，学生解决本题的关键就是找到这个同角，再利用这个定理解决就可以了.

解答 ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，又∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF，则有ADBE=AEBF，即44-x=xy，化简得y=-14x2+x=-14（x-2）2+1，所以当x=2时，y有最大值1.

变式运用 如图2所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处;作∠BPC′的角平分线交AB于点E.设BP=x，BE=y，问：当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值.

分析 本道题在例题的基础上进行了简单的变形，利用了对称和角平分线的性质可以将本题转化成例题的类型，从而不难看出和例题的相似之处.

解答 由題意可知∠CPC′=2∠DPC′，∵PE是∠BPC′的角平分线，∴∠BPC′=2∠EPC′，又∵∠CPC′+∠BPC′=180°，∴∠DPC′+∠EPC′=90°，即EP⊥DP.由例题的方法可以知道△BPE∽△CDP，则有BECP=BPCD，即y5-x=x3，化简得

y=-13x2+53x，进而可求得当x=52时，y有最大值2512.

推广运用1 如图3所示，直角梯形OABC的一顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=14OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA，AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°.设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系.

分析 本道题在例题的基础进行了推广，很显然地可以发现由原来的垂直关系推广到了特殊角的关系，而且利用了类似于定理“同角（等角）的余角相等”的思想来解决本道题，完全展现了数学“类比”思想方法的运用.

解答 连接OD，如图3所示，先求出D点坐标为322，322，可知：D点在∠COA的平分线上，则∠DOE=∠COD=45°，又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3，由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，又∵∠2=∠DEA-45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴OEAF=ODAE，即xy=342-x，∴y=-13x2+423x.

推广运用2 如图4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，D是AB边上一个动点（不与点A，B重合），E是BC边上一点，且∠CDE=30°.设AD=x，BE=y，试确定y与x之间的函数关系.

分析 本道题仍是例题的推广运用，继续体现“类比”思想的运用.但在推广运用1的基础上加大了难度，本题需要我们对图形进行构造，构造出相似三角形，再利用例题方法的类比思想就可以得到解决了.

解答 构造如图5的底角为30°的等腰三角形CFB，∵∠CDE=30°，∴∠CDF+∠BDE=150°，在△DBE中，∠B=30°，则有∠BDE+∠BED=150°，∴∠CDF=∠BED，那么△CFD∽△DBE（如图6所示）.因此，CFFD=DBBE，即232+x=4-xy，整理后得y=-36x2+33x+433.

总之，一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识.如何使学生较快地理解和掌握数学思想、方法，更是我们广大中学数学教师所关心以及要进行深入研究的问题.对类比思想在初中教学中的运用，我们还有待于挖掘、发展、完善，让学生在数学学习中起到事半功倍的效果，从而使学生学得轻松，学得开心.