浅谈中考探索规律题的类型及解法

邵英春

[摘 要]

简述中学数学探索规律题的类型及解法，对图形类探索规律进行了重点研究，按照解题涉及方法分为等比型、等差型、周期型三种。试图用简洁的方法分析探索过程，使读者感受数学美，感受探索规律的快乐，提高逻辑推理能力、提升解决数学难题的信心。

[关键词]

初中数学；相似；等比；周期

探索规律题在中考中一直备受青睐。此类试题结构独特，综合性强，区分度明显，能比较系统地考察学生的逻辑推理能力，分析和解决数学问题的能力，还能让学生在解题过程中感受数学文化、拓宽数学视野，提高数学修养。

探索规律型问题指的是根据已知条件或所提供的若干个特例，发现题目所蕴含规律的一类探索性问题。寻找规律的过程是一种创造性思维的过程，是数学发现的一种重要方法。根据对中考试卷的研究以及实际教学的总结，笔者认为探索规律题大致有以下两种类型：

第一类：探索数学运算（或变化）的规律问题

这一类比较简单，例如：（2016丹东）观察下列数据：-2，[52]，[-103]，[174]，[-265]，…它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是_______.

没难度，这里不做赘述。

第二类：探索图形变化规律的问题

这类题以图形的变化规律呈现，题目看上去有点长，图形变化复杂但很有趣。只要认真审题，分析图形的形成过程及变化趋势，数形结合找出关键，就会大幅度降低题目的难度。

笔者把这一类按解题涉及的知识分成等比型、等差型和周期型三种。

A：等比型试题

这个类型在近年中考出现的频率最高。解题常用方法有两种，一种方法是利用相似。首先考虑所求图形是否相似。如果相似；只需求出第一个图形的对应的结果及相似比；如果不相似就求出前3～4个特殊结果，然后通过所列算式或其结果找规律求解。另一种方法是利用坐标。

例1：2016盘锦

如图，在平面直角坐标系中，∠MOA1=30°，四边形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，AnBnCnBn+1都是菱形，点A1，A2，A3 … An在x轴上，点B1，B2，B3 …Bn在OM上，B1C1‖B2C2‖B3C3 …‖BnC2n‖y轴，A1B1=[2]，则第n个菱形AnBnCnBn+1的面积是________。

分析及解法：第一步考虑是否相似，∵B1C1‖B2C2‖B3C3 …‖BnC2n‖y轴；∴∠B2A1O=∠B3A2O=∠B4A3O= …=90°，∵∠MOA1=30°，∴∠OB2A1=∠OB3A2=∠OB4A3= …=60°∵四边形A1B1C1B2，A2B2C2B3，A3B3C3B4，…，AnBnCnBn+1都是菱形，∴∠C1B2A1=∠C2B3A2=∠C3B4A3=…=120°∴圖中的菱形都是相似的，对应点连线都经过点O，是利用位似构造的题目。第二步求相似比（即A2B2与A1B2的比），在Rt△B2A1A2中，∠A1B2A2=180°-∠C1B2A1=60°∴∠B2A2A1=30°∴A2B2=2A1B2，即相似比是2，面积比等于4。第三步求第一个菱形A1B1C1B2的面积，∠OB2A1=60°，∴△A1B1B2为等边三角形，过点B1作B1M⊥A1B2于点M，B1M=A1B1·sin∠BA1B1=[32]A1B1 ∴菱形A1B1C1B2的面积=A1B1·[32]A1B1=[3]，∴n=2时，面积为4×[3]； n=3时，面积为42×[3]…，[3]的系数呈等比增加，归纳出第n个菱形AnBnCnBn+1的面积4n-1[3]。

例2：2016本溪

如图，面积为1的等腰直角△OA1A2 ，∠OA2 A1=90°，且OA2 为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3 外作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5…，连接A1A3，A3A5，A5A7，…，分别与OA2，OA4，OA6，…交于点B1，B2，B3，…，按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为S1，△OB2A5的面积为S2，△OB3A7的面积为S3，…，△OBnA2n+1的面积为Sn，则Sn=________（用含正整数n的式子表示）。

分析及解法：第一步考虑阴影三角形是否相似，∵等腰直角△OA1A2 ，△OA2A3 ，△OA3A4 ，… ∴∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=… =45°，A1O=[2]A2O ，A2O=[2]A3O，A3O=[2]A4O …，∴A1O=2A3O，A3O=2A5O ，A5O=2A7O …，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=…=90°，∴△A1OA3∽△A3OA5∽…，∴∠OA3A1=∠OA5A3 =∠OA7A5=…，∴△OB1A3∽△OB2A5∽…∽

△OBnA2n+1 ，整体图形可看成是△A1OA2以O为旋转中心，边缩小边旋转方式构建。第二步求出相似比（即OA3与OA5的比值）为2，第三步求出△OB1A3的面积，∠A1OA2=∠OA2A3=45°∴OA1‖A2A3 ，[A2B1OB1=A2A3OA1=12] ∵△OA1A2∽△OA2A3 相似比为A1O：A2O=[2] ∴△OA1A2的面积等于△OA2A3面积的2倍 ，△OB1A3 的面积等于[SΔOB1A3=23?SΔOA2A3=23?12SΔOA1A2=13]，∴ S1=[13]，S2=[14×13]，S3=[14×14×13=142×13] …，观察[13]的系数呈等比增加，归纳得Sn=[14n-1·13]

例3：2017盘锦

如图，点A（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴，x轴的平行线交直线y=[32]x于点B1，B2 ，过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2 ，过点A2分别作x轴的平行线交直线y=[32]x于点B3，…，按照此规律进行下去，则点An的横坐标为__________.

分析及解法：此题已经给出两条直线的解析式，用坐标法求An的横坐标非常方便，只需将点坐标依次代入直线关系式即可。

∵ A1B1‖A2B2‖A3B3‖…‖y轴，A1B2‖A2B3‖A3B4‖…‖x轴，A1（1，1）

∴B2 [（233，1）] ∴A2 [（233，233）] ∴B3 [（43，233）] ∴ A3 [（43，43）]，观察A1， A2，A3…横坐标呈等比变化，公比为[233]，归纳出含序数（n）的代数式表示An的横坐标为[（233）n-1]

B：等差型试题

例4：2016辽阳

观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图中共有________个。

分析及解法：本题以图形的变化为背景，完美体现了“数”与“形”结合。在解题上可观察图形的变化规律，每个图形在前一个的基础上增加两行。图1是5个★，图2在图1上面加3个，下面加2个共（5+2+3）个，图3在图2上面加5个，下面加2个共（5+2×2+3+5）个，第四个图是（5+2×3+3+5+7）个，联系序数（n）把图形的变化规律归纳成数列规律的来做。第n个图中有5+2（n-1）+3+5+7+…（2n-1）， 用等差数列求和方法得结果是4+2（n-1）+1+3+5+7+…（2n-1）=2n+2+n2

C：周期型试题

例5：2016鐵岭

如图，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第一次无滑动滚动（如图①），再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动（如图②），…，每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________。

分析及解法：每次滚动，点A经过的路径都是弧，弧所在圆的半径都是等边三角形的边长，所以每次滚动的路径长取决于弧所对圆心角的度数，容易发现滚动的旋转角依次为120°，30°，0°，30°，120°，0°，120°，…，用旋转角为参照考虑周期性，从角度的大小看只有3种，以3个为1周期，2016÷3=672，点A经过的总长为[（120π?1180+30π?1180+0）]×672= 560π

规律探索题是中考的热点、亮点更是难点，用科学的方法经历探索过程，能感受数学的美，感受探索规律的快乐，提升解决数学难题的信心，逐步提高逻辑推理能力、独立探究和创新能力。

[参 考 文 献]

[1]王丽丽.浅谈初中数学复习策略[J].学周刊，2016（21）.

[2]安桂花.浅谈初中数学复习的方法[J].考试：教研版，2009（12）.

[3]杨建平.浅谈如何做好初中数学阶段性复习教学工作[J].中学生数理化：学研版，2014（7）.

[4]梁淑玲.浅谈初中数学“三轮”复习法[J].教师，2015（2）.

（责任编辑：张华伟）