错在哪里

邹黎明

1问题提出

最近我们的讨论群中顾老师给出如下试题：

如图1，正方形ABCD内接于⊙O，AB=2，EF为⊙O的一条动直径，P为正方形ABCD边上一动点，且∠EPF=120°，则PE+PF的最大值为.

讨论群中给出了一个错误的解答，而且大家都不容易发现错误，我们把错误解法产生，以及对于解法的疑惑，正确思考写出来，供大家参考.

讨论群中给出了如下解答：我们首先想到把PE+PF转化为一条线段，考虑到∠EPF=120°，想到他的外角是60°，要想利用这个条件，只有构造等边三角形（或者含60°的直角三角形）；如图2，延长FP到G，使得PG=PE，连接GE，得到△PGE是等边三角形，得到EG=PE，∠G=60°；于是，PE+PF=PG，下面只要求FG的最大值.这里重要的是我们要想到一个隐圆，我们作出△FEG的外接圆⊙O′，同时作出⊙O′的直径FH，连接HE，得到∠HEF=90°，∠H=∠G=60°，只有FG=FH时，FG取得最大值.因为EFFH=sin60°，EF=BD=22，FH=463.得到PE+PF的最大值为FH=463.

点评解完后，笔者心里总有点不踏实，为什么呢？这时点P是否在正方形ABCD的边上？在图2中作OI⊥AB于I，连接OP，OI=1，1≤OP≤2.

图3错误呢？考虑取得最大值情况，如图3，∠HEF=90°，∠H=60°，△HEP是等边三角形，得到PE=PH，得到∠HEP=∠HPE，得到∠PEF=∠F=30°，PE=PF，EO=OF，得到OP=12HE=12×223=63<1，矛盾.也就是这个情况不存在.原来解答不正确.

3正确解答

图4究竟正确解答怎么样呢？我们应该如何入手呢？从图2知道点P到圆心O的距离至少为1，我们构造同心圆，半径分别为2、1，直径为EF，如图4，分别以EF为弦，所含圆周角分别是60°、120°，得到⊙O′、⊙O″，⊙O″交同心圆小圆于P，FH绕点F顺时针旋转到直径位置时，是逐步增加，FH到过点P是临界位置，也就是最大值位置.在图2已有⊙O和⊙O′的基础上，再作两个圆：一是以点O为圆心，以r（1≤r≤2）为半径作⊙O的同心圓，二是以EF为弦作⊙O″，使EF向上（或向下）所对的圆周角为120°.这两个新圆交于两点，不妨选择其一（记为点P）进行考察，见图4.因为1≤r≤2，所以调整正方形ABCD与△EFP的相对位置，可使前者的一边通过点P；另由图4可见，当r的取值由大变小时，可使点P从点E起沿⊙O″的劣弧EF向上移动，从而FH会越来越靠近⊙O′的直径.因此，当r取最小值1时，FH有最大值.

作PM⊥EF于M，连接O″P交EF于N，OO″、OP，得到OO″⊥EF，OE=2，∠EO″F=120°，∠EO″O=60°，得到OO″=23，作PL⊥OO″于L，设OL=x，PO=1，O″P=O″E=223；

12-x2=（223）2-（23+x）2，x=64，PL=12-（64）2=104.

PM=OL=x=64，PL=OM=104，得到PE2=（2-104）2+（64）2=3-5，PE=10-22，同理PF=10+22，PE+PF=10<463.

所以，PE+PF最大值为10.

点评这个数学试题竟出现这种错误，隐藏得这么深，这么多老师着了道；因此，我们思考问题要周到，细节决定成败，探索才能进步.endprint