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罗峻

一年一度的中考落下帷幕，总有一些题目值得我们细细咀嚼，留下不少余味.本人对2017年黄石市中考数学试卷第10题（选择压轴题），作了一些有益的探讨，供大家参考与指正.

1题目再现

图1题目（2017黄石第10题）如圖1，已知凸五边形ABCDE的边长均相等，且∠DBE=∠ABE+∠CBD，AC=1，则BD必定满足（）.

A.BD<2

B.BD=2

C.BD>2D.以上情况均有可能

2解法探讨

这是一道容易猜出答案，但背后却有深度的选择压轴题.画出的图形看起来△ABC是等边三角形，但条件并没有直接给出，只知道五边形各边相等（不含AC），再加一组角的条件.怎样证明结论的正确性？解答的突破口为：把分散的两角组合在一起，可通过旋转或翻折实现.

方法一（旋转法）

图2分析如图2，由∠DBE=∠ABE+∠CBD知∠DBE=12∠ABC，可将△ABE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数得△CBP，再证△BED≌△BPD，发现等边△CDP，再推出∠ABC=60°即可解决问题.

解法一因为AB=BC，将△ABE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数，得△CBP，连DP，如图2.则∠CBP=∠ABE，BE=BP，CP=AE.由∠DBE=∠ABE+∠CBD=∠CBP+∠CBD=∠DBP，即∠EBD=∠DBP，又BD=BD，BE=BP，所以△BED≌△BPD（SAS）.所以DP=ED，又DE=AE=CP，所以△CDP是等边三角形，所以∠DCP=60°.由周角定义知∠BCD+∠BCP=300°，又因为∠CBP=∠CPB=12（180°-∠BCP），同理∠DBC=∠BDC=12（180°-∠BCD），两式相加得∠DBP=∠CBP+∠DBC=12（360°-∠BCP-∠BCD）=12（360°-300°）=30°，所以∠DBP=30°=∠EBD，所以∠ABC=2∠EBD=60°，又AB=BC，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BC=1，所以在△BCD中，BC=CD=1，由三角形任意两边之和大于第三边得BD<2.

点评旋转变换是初中几何内容的重要组成部分，是中考的常考内容之一，运用旋转变换来分析问题、解决问题，更是几何高难问题的解决途径和通用方法，具有很高的应用技巧和思维含量.

图3解法二将△BAE绕点B顺时针旋转∠ABC的度数至△BCF，连接DF，如图3.由解法一可知△EBD≌△FBD（SAS），△CDF是等边三角形.

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所以CB=CD=CF，即点B、D、F在以C为圆心，CB为半径的圆上.

由圆周角定理可知，∠DBF=12∠DCF=12×60°=30°，由△BED≌△BFD（已证），所以∠DBE=∠DBF=30°.因为∠DBE=∠ABE+∠CBD，∠CBF=∠ABE，所以∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，又AC=1，所以BD

点评前段部分，运用旋转变换解决△CDF是等边三角形，后段部分运用圆的定义，构造辅助圆，再运用圆周角定理，解决角度问题.这种解法较之解法一，更加简洁明快，干脆利落.而构造辅助圆，往往在教学中容易被忽略，这需要一线教师重视圆的内容，着重引导学生归纳、总结圆的基本内容方法和基本辅助线的做法，并进行相关内容的专题训练.

方法二（翻折法）

图4分析如图4，由∠DBE=∠ABE+∠CBD，想到将∠ABE和∠CBD分别沿BE、BD翻折得到两对全等三角形和几个四边形，由凸五边形的边长相等得出四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，再运用这些图形的特殊性解决问题.

解法三将△ABE沿BE折叠，△BCD沿BD折叠，如图4，由∠DBE=∠ABE+∠CBD，AB=BC，则AB、BC折叠后重合，设重合的边为BP，连AP、EP、PD、PC，这样△ABE≌△PBE，而AB=AE，所以AB=AE=EP=BP，则四边形ABPE是菱形，同理四边形BCDP是菱形，因此AE瘙 綊 BP瘙 綊 CD，则四边形ACDE是平行四边形，由已知ED=CD，得ACDE是菱形，又AC=1，则CD=AC=1，所以CD=BC=1，在△BCD中，BD

点评图形的翻折是将一个图形沿一条直线折叠的运动，翻折后的图形与原图形全等.翻折是一种重要的几何变换，运用图形的翻折，能将分散的条件集中，为顺利解题创造出意想不到的条件.

为什么能用这三种方法解决？解法一、解法二使用旋转法，不但要将△ABE旋转得到△CBP，还要运用轴对称的思想得出△BED≌△BPD.其实这种证明的模式实际是“半角模型”的演变，这个模型的运用在平时教学中屡见不鲜，是一种典型的解题模式识别方法，同时也是一种解题经验，可见解题模式和解题经验在解题中至关重要.解法三使用翻折法，将△ABE、△BCD翻折后，要能发现四边形ABPE、BPDC、ACDE都是菱形，要有善于联想的大脑和善于发现的眼睛.这三种解法都运用了图形变换的思想，还要运用不少几何知识，技巧性强，综合性高，没有深厚的平几功底及敏锐的观察力是无法解决的.难道就没有其他简单一点的方法？经过思考，还是有的，请看：

方法三（整体代换）图5分析如图5，由各边相等知△ABE、△BCD都是等腰三角形，则∠1=∠3，∠2=∠4，再运用三角形的内角和定理推导出同旁内角互补，进一步得出AE瘙 綊 CD，四边形ACDE是菱形，则问题解决.