共边三角形的一个性质及其应用

两个共边三角形具有下列性质：

性质若△ABC与△ABD有一条公共边AB，且直线CD与直线AB相交于M，则S△ABCS△ABD=CMDM.

图1证明如图1，分别过C、D作AB的垂线CP、DQ，P，Q为垂足，则Rt△CPM∽Rt△DQM，所以CPDQ=CMDM，所以S△ABCS△ABQ=12CP·AB12DQ·AB=CMDM.

类似地，可证明该性质其它三种情形（图2—4）：

图2图3图4该性质看似平凡，实则大有用处.利用它可以解决大量的几何题，甚至可以使一些難度较大的问题获得简捷的解法.

1证明比例式

例1如图5，已知BD=CE，求证：ABAC=EFDF.

证明连接BE，AF，由于BD=CE，故由性质有ABAC=ABBD·CEAC=S△ABFS△BDF=S△BEFS△ABE=S△BEFS△BDF=EFDF.

图5图62证明等积式

例2如图6，设AD为△ABC的中线，引任一直线CF交AD于E，交AB于F.证明：AE·FB=2AF·ED.

证明连接BE，因D为BC的中点，故S△BEC=2S△DEC.由性质有：AEED=S△AECS△DEC=2S△AECS△BEC=2AFFB.所以AE·FB=2AF·ED.

3证线段相等

例3如图7，PA、PB是圆的两条切线，在线段PB上取一点D，延长PA至C使AC=BD，连接CD交AB与E，求证：CE=DE.

证明连接BC、PE.依题意有PA=PB，AC=BD，故由性质有：DECE=S△BDES△BCE=S△BDES△PBE·S△PBES△BCE=BDPB·PAAC=1，所以CE=DE.

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例4设△ABC的三边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且使AFBF·BDCD·CEAE=1，求证：AD、BE、CF相交于一点.

证明如图8，可先找出AD、BE的交点O，再证明CO与AB的交点F′与F重合.设AD与BE相交于O，连接CO交AB于F′，则由性质有：

AF′BF′·BDCD·CEAE=S△COAS△COB·S△AOBS△AOC·S△BOCS△BOA=1，结合条件等式有AF′BF′=AFBF.所以AF′+BF′BF′=AF+BFBF，即ABBF′=ABBF，所以BF′=BF，F′与F重合.从而AD、BE与CF相交于一点.

作者简介尹承利（1963—），男，山东泰安人，中学高级教师，市教学能手，区政府记功，区教学优秀教师、骨干教师.数学奥林匹克优秀辅导员.多次获省、市优秀论文一等奖.发表论文1000余篇，主编或参编著作20余部.曾获"希望杯"全国数学邀请赛命题一等奖.endprint