突扩式水跃跃长及跃后水深简化计算

于兴华，滕 凯

(1.黑龙江省水利水电集团冲填工程有限公司， 黑龙江 哈尔滨市 150000；2.黑龙江省三江工程建设局， 黑龙江 哈尔滨市 150000)

突扩式水跃跃长及跃后水深简化计算

于兴华1，滕 凯2

(1.黑龙江省水利水电集团冲填工程有限公司， 黑龙江 哈尔滨市 150000；2.黑龙江省三江工程建设局， 黑龙江 哈尔滨市 150000)

针对目前突扩式水跃跃长及跃后水深求解公式存在的计算过程繁复、误差大、适用范围有限等问题，依据现有突扩式水跃试验实测数据成果，在对相关参数曲线特性全面分析的基础上，采用优化拟合技术，通过对多组备选函数的拟合逼近，获得了计算过程简捷、适用范围广的简化计算公式。精度分析表明，该公式求解水跃及跃后水深的最大相对误差分别为9.75%和8.84%，均小于现有公式的计算误差。

突扩式水跃；跃长；跃后水深；优化拟合

突扩式水跃为三维空间水跃，由于跃区水体在消力池内跃起后形成的回流、边壁水流脱离产生的质点交换，使该种水跃能显著降低跃后水深，并较一般二元水跃具有更好的效能效果。因突扩式水跃具有流态复杂、紊动剧烈的特点，致使该种水跃条件下的水跃长度及跃后水深的分析计算比较困难[1-3]。截止目前，已经提出的计算方法主要为理论计算公式、半理论计算公式及经验计算公式。文献[4-7]根据对边壁反力不同情况下的假设，分别给出了跃后水深的理论计算公式，由于假设条件与实际工程的差异，这些公式的理论计算值与试验成果吻合较差，其最大相对误差绝对值的范围在10.99%～48.25%[8-9]，且公式形式相对比较复杂，需通过繁复的试算完成求解，不便实际应用。文献[8]通过对跃区水体质点运动形式的假设、文献[9]在忽略壁面阻力对水跃特性影响的情况下通过建立主流区绕流阻力方程，分别提出了计算突扩式水跃跃长及跃后水深的半理论半经验公式，虽然计算精度略有提高，但最大相对误差的绝对值仍分别达到12.5%及10.1%，且公式形式复杂，需通过联立求解超越方程组完成计算，求解过程仍显繁复。文献[10]通过对试验成果的整理分析，分别提出了水跃跃长及跃后水深的经验计算公式，虽然公式形式相对比较简单，但计算误差较大，最大相对误差达18.2%。为了进一步提高突扩式水跃跃长及跃后水深的计算精度，简化计算过程，本文采用优化拟合的方法，利用现有试验成果，以标准剩余差最小为目标函数，通过对多组备选函数的反复比对逼近，获得了突扩式水跃跃长及跃后水深的简化计算公式，公式表达形式简单，计算精度高，具有适用意义。

1 现有计算公式比较

对于突扩式水跃(见图1)，由于水流从急流到缓流过程中水体的扩散、跃起、回流及脱壁等复杂流态现象的产生，形成了跃长及跃后水深计算公式研究成果的多样性，既有理论计算公式、半理论计算公式，又有经验计算公式。

图1突扩式水跃示意图

根据对现有计算突扩式水跃跃长及跃后水深公式的分析及比较可知，理论计算公式虽然基本概念明确，但由于推导过程均基于某些特定的假设条件，而这些假设条件常与工程实际不尽相符，使理论计算公式的求解结果出现较大误差；半理论计算公式虽然具有一定的理论依据，但因相关参数的确定需通过试验成果进行率定，试验数据的精度仍然是决定公式精度的基础；经验计算公式是完全依据试验数据通过优化拟合获得的简化公式，该公式虽然缺乏严格的理论推导过程，但因公式形式简单、计算过程快捷、精度可满足工程要求，是实际工程应用较广泛的形式之一。

2 简化公式的建立

考虑突扩式水跃流态的复杂性及经验公式的突出优点，本文采用优化拟合的方法建立突扩式水跃跃长及跃后水深的简化计算公式。

2.1 现有简化计算公式

2.1.1 模型试验条件

2.1.2 简化计算公式

根据对模型试验实测数据的分析及拟合，文献[10]给出的简化计算公式为：

(1) 水跃跃长计算公式：

(1)

(2) 跃后水深计算公式：

(2)

利用式(1)、式(2)即可根据参数Fr1及Z完成水跃跃长及跃后水深计算，并由S=(E-E′)/E×100%(S为相对误差，%；E、E′分别为实测值及计算值，cm)完成计算值与实测值的相对误差比较，相关结果见表1，表中：Sh、SL分别为跃后水深及水跃长度计算值的相对误差，%。由表1可见，式(1)、式(2)计算结果与实测值存在较大误差，其最大相对误差分别达到18.24%及9.63%，公式的计算精度很难被实际工程所接受。

2.2 新简化计算公式的建立

2.2.1 影响因素分析

现有的研究成果已经证明，尽管影响突扩式水跃水流特性的因素较多，但考虑为了便于实际工程应用及相关要素的可定量性，理论计算公式及半理论计算公式在二元水跃分析的基础上，均选取Fr1、Z及y叁个要素为基本变量参数。文献[10]基于对已有成果的分析，确定了试验主要研究Fr1、Z对水跃流态的影响。鉴于上述研究成果，考虑共轭水深参数y可表示为Fr1、Z的函数，因此，本文仍选取Fr1、Z为建立突扩式水跃跃长及跃后水深计算公式的2个主要变量参数。

2.2.2 试验关系曲线分析

根据表1中的试验数据，利用上述主要影响因素分析结果，以参数Fr1为横坐标，分别以无量纲参数x、y为纵坐标，以扩散系数Z为参数，即可完成x∶Z∶Fr1、y∶Z∶Fr1试验关系曲线绘制，见图2、图3。

表1 文献[10]试验成果及经验算式误差

图2 Fr1-Z-x关系曲线

图3Fr1-Z-y关系曲线

2.2.3 简化计算公式建立

由图2可见，当Z为一定值时，水跃跃长无量纲参数x随跃前断面弗劳德数Fr1的增大呈非线性增大；而当Fr1为定值、Z∈[1,3]区间时，x随Z值的增大而增大,并且在Z=3时，x达到最大值，当Z∈(3,5]区间时，x则随Z值的增大而减小。根据x∶Z∶Fr1曲线的这一对应关系，在1≤Z≤5、2.76≤Fr1≤7.17参数范围内，拟定了多组备选函数，采用优化拟合的方法[11-15]，经逐次逼近优选(拟合计算过程略)，获得了突扩式水跃跃长无量纲参数x的简化计算公式为：

x=Aarctan(Fr1-4.6)+C

(3)

(4)

C=6.3945-0.0014Z5.1+0.0164Z3.4+0.1013Z1.7

(5)

式中：A、C均为与Z有关的中间变量。

根据y∶Z∶Fr1曲线，采用与上述同样的分析计算方法也可求得突扩式水跃跃后水深无量纲参数y的计算公式为：

y=0.004arctan(Fr1-5.4)+DFr1

(6)

其中：D=0.825Z-0.62+0.536

(7)

式中：D为与Z有关的中间变量。

x、y求出后，即可分别求得跃长及跃后水深。

3 简化公式适用性及精度比较

3.1 适用性分析

由式(3)及式(6)可见，本文公式仅含Fr1、Z两个参数，并且可直接完成水跃跃长及跃后水深计算。而理论计算公式及半理论计算公式均含Fr1、Z及y三个参数，且公式的表达形式比较繁复，需通过反复试算完成求解。另一方面，本文式(3)及式(6)的适用范围为1≤Z≤5，而文献[8-9]所给公式的适用范围仅为1.2≤Z≤5，本文公式具有更好的适用性。

3.2 精度比较

采用文献[10]的实测成果，将Fr1、Z分别代入式(4)及式(7)即可求得x、y，再根据相应的跃前水深h1及参数x、y即可分别求得水跃跃长L及跃后水深h2，并完成计算值与实测值的相对误差分析，进而绘制相对误差包络图，见图4、图5。

图4 水跃跃长计算误差包络曲线

图5跃后水深计算误差包络曲线

由图4、图5可见，本文公式计算水跃跃长的相对误差范围为9.72%～9.75%；计算跃后水深的误差范围为-8.84%～8.82%,分别为理论计算公式最大相对误差的20.2%和18.2%；为半理论计算公式最大相对误差的77.8%和87.5%；为经验计算公式最大相对误差的53.5%和91.8%。另一方面，根据文献[10]的试验观测表明，整个扩散流场范围内的水流状态十分复杂，水流紊动非常强烈，水跃区各物理量呈极不稳定情况下的脉动值。因此，试验所获数据成果存在一定误差。依据这一分析结论，本文公式个别点计算值与实测值的相对误差在一定程度上也存在试验误差影响因素。

4 结 语

本文在全面分析现有突扩式水跃跃长及跃后水深计算公式存在问题的基础上，利用实测数据成果，采用优化拟合的方法，提出了水跃跃长及跃后水深的简化计算公式，与现有计算公式比较，具有以下优点：

(1) 计算工程简捷。本文公式仅含Fr1、Z两个参数，且公式的表达形式简单，不需通过试算求解，便于实际应用。

(2) 应用范围广。本文公式中扩散系数Z的适用区间为[1，5]，而文献[5-6]所给公式中Z的适用区间为[1.2，5]。因此本文公式具有更好的适用范围。

(3) 计算精度高。本文公式计算跃长及跃后水深的最大相对误差分别为8.84%及9.75%，均小于现有公式的计算误差。

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SimplifiedCalculationMethodoftheLongthandWaterDepthofSuddenEnlargedHydraulicJump

YU Xinghua1, TENG Kai2

(1.HeilongjiangWaterandHydropowerGroupChongtianEngineeringCo.,Ltd.,Harbin,Heilongjiang150000,China;2.HeilongjiangSanjiangEngineeringConstructionBureau,Harbin,Heilongjiang150000,China)

Focusing on issues like very complex calculation process, low accuracy, limited applicability etc., this paper proposed a simplified method to calculate the length and water depth of sudden enlarged hydraulic jump based on the experimental data, which adopt the relevant parameters curve characteristics, the optimal fitting technology, through the fitting of multiple sets of optional function approximation. The calculation process is simple and applicable range is relatively wide. The accuracy analysis shows that the maximum relative error of the formula is 9.75% and 8.84% respectively, which is lower than the current calculation formula.

suddenexpansion;hydraulicjumplength;waterdepthafterthehydraulicjump;optimalfitting

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.06.007

2017-06-29

2017-07-28

齐齐哈尔市科技攻关项目(SHFZGG201407)

于兴华(1972—)，男，黑龙江哈尔滨人，高级工程师，主要从事工程建设管理研究。 E-mail:tengkai007@163.com

TV135.2

A

1672—1144(2017)06—0032—05