利用Lanczos算法研究一维光晶格Fermi气体

胡 波,陈 亮,韩榕生

(华北电力大学 数理学院，北京 昌平 102206)

利用Lanczos算法研究一维光晶格Fermi气体

胡 波,陈 亮,韩榕生

(华北电力大学 数理学院，北京 昌平 102206)

研究了零温下一维光晶格Fermi气体随外加磁场和自旋轨道耦合(SOC)相互作用的变化特征。基于Fermi-Hubbard模型，采用Lanczos部分迭代法研究计算具有自旋轨道耦合(SOC)的一维费米链体系的基态波函数与基态能量，进一步得到超导配对序参量和磁化率的结果。计算结果表明，Lanczos迭代法在求解一维光晶格体系是收敛和有效的，外加磁场和SOC作用对BCS单重态的超导配对均具有抑制作用。另外在合适的磁场和SOC共同作用下存在Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)相与BCS-FFLO混合相。通过与其他研究者的结果比较，体系特殊的相分布情况和非连续性相转变特征与较小的格点数可能相关。该结论对实验上探测BCS-FFLO混合相也具有指导意义。

Fermi-Hubbard模型；Lanczos迭代；自旋轨道耦合；FFLO相；BCS-FFLO混合相

研究束缚在一维光晶格中具有电子自旋轨道耦合相互作用的费米强关联体系是量子多体理论非常重要的一部分。而费米体系内部的电子配对和不同自旋电子的分布密度可以产生非常丰富的物理现象，包括一些非常规的奇异相,如费米超流态[1]、对称性破缺的超导相[2]。在低维体系有更显著的量子相位涨落[3]，这使得一维费米体系更有可能出现在常规唯象理论预测之外的特殊性质，因此研究一维冷原子体系的量子磁性特征、FFLO相[4-5]均具有重要意义。实验中，可以使用光晶格来实现超冷原子的囚禁，利用Feshbach共振来调节原子间的相互作用。近年来，又实现了外加磁场下一维光晶格中超冷原子的SOC相互作用的人工模拟合成[6]，其中各项物理参数已实现调节和操控，并成为模拟强关联相互作用体系的标准工具。研究一维费米气体的特殊特性，可以同时为实验中的新奇现象和理论预测提供佐证与支撑。对于不考虑SOC的一维费米体系，已有很多人使用平均场方法预言了一定条件下FFLO相的存在[3]，也就是在零温强的磁场下，系统为常规金属态或绝缘态，随着磁场强度下降，系统会通过一个2级相变点转变为非常规超导FFLO态，磁场继续下降，最后变为BCS常规超导态。A.E. Feiguin[7]使用DMRG[8]方法表明了80格点无SOC体系存在FFLO相；Junjun Liang[9]研究了带有SOC相互作用的60，100格点体系，得到了与平均场方法不一样的结果，预测了BCS-FFLO混合相的存在。在格点较少的体系中，电子的配对关联受限于格点规模影响，其序参量与磁化率变化特性会与格点较多的体系有较为明显的差别。本文将研究10格点的少体情形，考察其特殊的超导序参量性质与对应的相分布情况。

本文以Fermi-Hubbard模型为研究对象，使用Lanczos迭代法[10-12]来求解一维体系的哈密顿量，计算了零温下一维光晶格中具有相互吸引势的费米体系的磁化率(与不同自旋电子分布差异相关)，研究了s-波单态超导配对序参量随外加磁场和SOC强度的变化规律。首先引进理论模型和上述物理量的定义式，然后分析数值计算的结果，验证Lanczos算法在模型计算中的准确性和收敛性，然后分析磁场、SOC对超导配对的影响，证实FFLO相与BCS-FFLO混合相在体系的存在性，以及这2个相在磁化率跃变处的特殊临界性质和各个量子相的大致分布区域。

1 Fermi-Hubbard理论模型

囚禁于一维光晶格且具有自旋轨道耦合及外加磁场的费米气体可由Fermi-Hubbard模型描述[13]：

H=Ht+Hz+HU+HSOC

(1)

式(1)中：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式(6)中,N为电子总数(在半填满情况下，N也等于格点数目)。电子自旋方向会随着磁场变化发生翻转，磁化率由自旋方向相反的电子占比差异所决定。

单态配对关联序参量：

(7)

动量空间下的配对序参量反映系统s-波超导电子的配对情况。在零温下，体系电子会形成库珀对，即BCS超导配对，为带内波矢大小相同、方向相反、总动量为零的电子配对，序参量为单峰结构。非零总动量的带间电子配对的FFLO态可由双峰结构的序参量表征。

单粒子能带表达式:

(8)

式(8)中，hZ为沿z方向的外加磁场；k表示单电子的波矢；α为自旋轨道耦合强度，反映体系能带结构在U=0时随磁场和SOC的变化情况。

2 计算结果与分析

在下面的数值计算中，将跃迁强度t设为能量单位，取格点数目N=10，填充率为1/2(半满条件，电子数与格点数相等)，同一格点自旋向上和自旋向下的电子具有相互吸引势，U=-4情形下的一维Fermi链。

2.1 Lanczos迭代法收敛性分析

在具体分析各个物理量随自旋轨道耦合强度和外加磁场变化的规律之前，先分析Lanczos迭代算法应用于存在SOC和外加磁场的一维Fermi-Hubbard模型的可靠性。计算系统随迭代步数增加得到基态能量Eg与基态波函数ψg。系统的哈密顿矩阵为H，基态波函数的误差由Dg=‖Hψg-Egψg‖估算,基态能量误差由不同迭代步数计算的基态能量结果相互比对得到。

计算程序由Fortran语言实现，具体实现方法是在Fock表象下得到N=10格点体系的一组正交完备基矢，然后根据公式(1)～(5)，生成基矢空间下的哈密顿矩阵H，最后采用Lanczos迭代算法计算基态能量与基态波函数。Lanczos算法迭代求解得到的基态能量与基态波函数的误差见表1。表1记录了2组不同参数值每一步迭代的计算情况，参数分别设置为：①h/t=0,α/t=0；②h/t=1.2,α/t=0.3。Eg1,Dg1和Eg2,Dg2分别对应这2组参数的基态能量值与波函数误差值。

表1 Lanczos算法迭代求解得到的基态能量与基态波函数的误差t

迭代步数Eg1Dg1Eg2Dg21-16．58054308910875．82785614392992-16．57439178215076．482557902448062-20．70884363307423．78998389864344-21．24891962079394．471802528522563-22．40535734230262．89065151380169-23．20719992533013．34296931571308……………48-25．38061882042781．7154932725E-005-25．82467862941183．2167656105E-00349-25．38061882045541．1346997768E-005-25．82467956077192．6552119377E-00350-25．38061882046758．1161392116E-006-25．82468017523292．1533884645E-003……………94-25．38061882049324．7423163537E-012-25．82468124755012．2894067467E-00895-25．38061882049323．4413729121E-012-25．82468124755011．9196010562E-008……………120-25．38061882049324．7815005572E-013-25．82468124755025．7145001684E-011

从表1可知随着迭代步数的增加，所计算得到的基态能量很快趋于稳定，基态波函数的误差相对于基态能量稍大一些。由于不同参数设置下的收敛速度存在差异，同样的迭代步数会有不同的误差，但总体来说误差随迭代步数增加而迅速减小。在第2组参数值下，算法的收敛速度相对较慢。迭代到第50步时，基态能量的值在小数点后5位皆已稳定不再变化，此时对应的波函数误差大概在10-3。继续迭代到95步，计算基态能量误差小于10-11(与迭代120步的基态能量结果对比可知)，波函数误差在10-8数量级。这说明使用Lanczos迭代算法是收敛有效的。据此，在下面的计算中，将计算过程中的迭代步数设置为95次，对于1/2填充率的10原子体系基态能量误差不大于10-9，波函数误差Dg不大于10-6。此后只需在迭代的最后一步计算出相应的基态能量和基态波函数即可。

2.2 磁场与SOC单独作用时的影响

先考察无SOC作用下，外加磁场对体系的影响。计算磁化率χ和序参量PS(k)随磁场的变化情况,结果如图1所示。在图1(a)中磁化率分别在磁场强度h/t=1.04,1.88等处附近出现突变，在其余各处无变化，相应的磁化率χ每次增加0.2。恰好平均每一次变化有1个电子的自旋随磁场发生翻转，系统的总磁矩随磁场呈量子数变化。图1(b)是无SOC超导配对序参量PS(k)图像。可以看出序参量PS(k)在完全磁化(h/t=3.84)之前均为单峰结构，代表系统存在BCS超导配对，且每一次磁化率的跃变对应图1(b)配对序参量分布曲线在k=0处波峰位置的降低，也就是BCS配对会随着体系逐渐被磁化而减少。当磁化率强度达到χ=-1.0时，体系完全被磁化，PS(k)=0，每个格点只存在1个自旋向下的电子。此时BCS配对消失，体系由BCS超导相转变为常规相(Normal Gas简称NG态)。这与传统的超导相变理论过程类似。可以根据k=0附近PS(k)是否为零来判断体系BCS态与NG态的转变边界，容易得到BCS转变到NG态的临界磁场强度大约为h/t=3.84。

以上分析表明，研究的体系无SOC作用时未出现非零动量配对FFLO超导态，配对序参量很大程度上取决于磁化率，自旋向上与自旋向下电子占比的差异影响配对序参量的分布。由于自旋失衡数的量子数变化，磁场抑制BCS超导配对的作用，是非连续阶段性增强的。下面单独计算存在SOC时，无外加磁场的情况。

在无磁场无SOC的条件下，磁化率χ=0，z方向不同自旋向上和自旋向下的分布占比相等，对于单电子不同的自旋态是简并的。此时引入SOC，不同自旋分布占比基本保持不变，电子的自旋不再是好量子数，不同的自旋态会发生混合。此时虽然没有自旋分布的失衡，但是可导致单电子在不同自旋下的能量不再简并。

SOC对序参量曲线以及能带的影响如图2所示。由图2(a)对PS(k)的计算结果显示，不同自旋态的电子发生混合，并影响配对序参量的分布，且BCS电子配对序参量是随SOC耦合增强而连续性减弱的。

当U=0时，单粒子的能带随磁场和SOC变化情况可由式(8)描述，图2(b)是仅存在SOC时取α/t=0.6的色散关系图(U=0)，原有的单带结构分裂成2个能带，此时会产生依赖于波矢沿x方向(一维链方向)的有效场，这使得在波矢k>0时，高能带和低能带分别产生|→〉(自旋沿x正方向)和|←〉(自旋沿x反方向)的部分极化，当k<0时，情况相反。可以看到整个能带结构以及自旋极化是左右对称的，此时引入自旋相反的电子间相互吸引势让U<0,由于研究的是体系的基态情况，如果相互吸引势较强，倾向形成带内的BCS超导配对以达到较低的能量。对于只存在SOC相互作用势U=-4的情况，体系只会出现BCS常规超导配对，这与图2(a)中计算的PS(k)只存在单峰结构的BCS配对序参量分布曲线的结果是一致的。

2.3 磁场与SOC共同作用的影响

由式(8)得到磁场和SOC同时存在U=0的色散关系,箭头的竖直方向和水平方向分别代表自旋沿z和x方向极化,电子间直线代表引入相互作用势发生的带内BCS配对,虚线代表带间的FFLO配对。

下面将给出U=-4，同时存在SOC和外加磁场时的数值计算结果，分析SOC对体系磁化率的影响，并验证以上相的存在性。

磁场SOC共同作用下磁化率与序参量曲线以及相分布情况如图4所示。如图4(a)在较强的SOC强度下，体系的磁化率与图1(a)无SOC的情形相比出现连续变化的趋势，且大约在α/t>0.5时，连续性趋势变得明显。但是，在几个确定的磁场附近，磁化率依然存在跃变。图4(b)在α/t=0.597，h/t=0.96时，会出现偏移动量Q=0.377的双峰结构的PS(k)序参量分布曲线，对应的是非零动量配对的FFLO态。图4(c)在α/t=0.6，h/t=1.8时体系序参量分别出现独特的三峰结构，此时体系同时存在Q=0的BCS配对与Q=±0.817的FFLO超导配对。不同BCS-FFLO相点的2种配对的组成比例是有差异的，以该点为例，k=0序参量分布峰值小于k=0.817处峰值，带间的FFLO配对要强于带内的BCS配对,此时FFLO配对占优。图4(b)与(c)说明在SOC与磁场同时存在的情况下，非常规超导的FFLO相与BCS-FFLO混合相在合适的参数条件下是存在的。

图4(d)是根据PS(k)序参量分布给出的BCS相、FFLO，以及BCS-FFLO混合相的存在区间。从图4(d)中可以看出，各个相的分布区域形状比较奇特，2个非常规超导相并不是一整块平滑连通的区域。一般情况下BCS转变为FFLO或者FFLO转变为BCS-FFLO属于2级相变，对应序参量PS(k)与以之判断的相存在区域也应该是平滑连续过渡，但这要求对应序参量磁化率也是连续变化的。计算结果中，磁化率在一些点附近的跃变依然明显，导致在一些区域相变边界附近出现序参量曲线的跃变。在图4(b)中h/t=0.96,α/t=0.60附近从BCS过渡到FFLO相，以及在图4(c)中h/t=1.8,α/t=0.60附近从FFLO过渡到混合相这2个相变过程均不连续存在序参量分布曲线以及磁化率大小的突变。而在格点较大的体系，例如在Junjun Liang[9]研究的格点为60的体系，在较小的SOC下，体系的磁化率便呈连续性的变化，各个相的分布是规则平滑的单片区域，各个超导相之间的转变是连续过渡的。通过以上对比可以看出，本研究中的10原子Fermi链，受限于体系大小。即使是在较强SOC下，一些区域内的系统状态存在非连续性变化。在合适的参数下非常规的FFLO超导相与BCS-FFLO混合相均可存在。但这种体系的非连续性变化使其部分区域的相变特征和各个相的分布情况与格点较多的体系(只需较小的耦合强度便能得到连续变化的磁化率)显著不同。

3 结论

本文利用Lanczos迭代法研究了一维光晶格中具有相互吸引势的半填满状态下的费米体系，验证了一维费米体系使用Lanczos方法的收敛性和有效性。计算了10个格点下的一维体系的性质，结果显示外加磁场和SOC相互作用均对系统BCS配对序参量起抑制作用，其中序参量随外加磁场变大阶段性减弱，随自旋轨道耦合增强连续性减弱。还验证了FFLO态以及BCS- FFLO混合态在10格点一维链的存在性，并给出了相应相图。在10格点的费米链体系，即便在较强SOC作用下，磁化率依然存在不连续性，与格点数目较大的体系相分布与相变特征存在明显差异，即Fermi链体系在磁场和SOC共同作用下的特性可能与格点的体系大小密切相关。

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Study on Fermi Gas in One-dimensional Optical Lattice by Lanczos Method

HuBo,ChenLiang,HanRongsheng

(School of Mathematics and Physics,North China Electric Power University,Changping Beijing 102206)

This paper studied one-dimensional Fermi chain with spin-orbit coupling(SOC).The variation trend of the systemic properties with magnetic field and SOC interaction at zero temperrature was investigated.Based on Fermi-Hubbard model,partial Lanczos iterative method was used to calculate ground wave function and ground state energy of the system,then paring order and magnetic susptibility were obtained.The results showed that the partial Lanczos iteration method was convergent and effective.The analysis indicated that the BCS superconducting singlet paring was suppressed by both magnetic field or SOC.When magnetic field and SOC coexist,Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinnikov(FFLO)and FFLO-BCS phase can be obtained with certain parameters.By comparing with other researcher's results,the special phase distribution and non-continuous transformation characteristics perhaps associated with the small size of system.These conclusions were also instructive for the detection of FFLO-BCS phase in experiments。

Fermi-Hubbard Model；Lanczos partial iteration；Spin-orbit coupling；FFLO phase；BCS-FFLO mixed phase

2017-08-02

国家自然科学基金项目(项目编号11504106)。

胡波，硕士生。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.06.010

O413.3

A

2095-4565(2017)06-0041-06

(责任编辑张银凤)