可视化教学：让学生数学学习真正发生

孙建华

摘  要：数学的概念是抽象的，学生的数学思维过程是内隐的。在数学教学中，教师可以借鉴计算机中“可视化”技术，通过图形、动作、声音和量表等，让抽象的问题具象化，让内隐的思维显性化。“可视化教学”不仅是一种教学行动与教学策略，更是一种教学理念与教学思想。

关键词：可视化教学;数学学習;真正发生

从认知心理学上看，学生的数学学习是一项内隐的学习活动，学生的思维犹如“黑匣子”是不可见的。如果我们能借鉴计算机科学中的“可视化”技术，让学生数学思维过程看得见，成为教师、学伴可以观察、把握、触摸的对象，那么学生的数学学习将会真正发生。在教学中，将数学的抽象性问题、将学生看不见的思维过程、将不可言说的数学思想方法等清晰地呈现出来，有助于培育学生的数学核心素养。

一、图形表征：让抽象问题具象化

数学的问题表述通常是抽象的，是用文字进行描述的。在数学教学中，教师可以引导学生用图形表征、用图形示意。这里的图形概念是广义上的，既包括几何图形，也包括表格、记录单等。只有借助图形，才能将抽象的数量问题具象化，让学生对数学知识的本质获得直观、简洁、清晰的理解。同时，画图也能敞亮学生的思维过程，让学生的思维轨迹变得清晰可循。画图是在客观问题与主观心智表达之间架设一座桥梁，既能让隐藏在文字背后的关系、本质、思想、方法显现出来，又能让我们看到学生的思维过程。

例如，教学苏教版小学数学三年级下册《两位数乘两位数》，习题中出现了“连桶称油”问题：一桶油，原来连桶称共重30千克，倒出一半的油后，连桶称共有16千克。原来桶和油各有多少千克？对于这样的问题，学生在解决问题时往往只是“跟着感觉走”，列出的算式五花八门。他们既说不清数量关系，更不能主动对称油前后的数量进行对比，思考什么数量发生了变化，什么数量没有发生变化。基于此，笔者在教学中引导学生画图，引导学生从画出的图中分析数量关系，从而解决问题。在这个过程中，为了促进学生“图”“文”之间的心理转换，笔者鼓励学生“看”图“想”事、由图“说”理，指导学生画图、读图、用图。通过图构（根据题意画图）、图导（根据图形思考），让学生直观感觉到“从原来的桶与油到现在的桶与油的变化，少的就是油的质量”，从而形成解决问题的策略。

法国数学家笛卡儿说：“没有任何东西会比几何图形更能简单直接地引入脑海，用图形表达事物是很有帮助的。”在数学教学中，“图形”是学生思维的脚手架，只有引导学生进行图构，才能将抽象的代数问题几何化，将复杂的问题简易化，才能让图形发挥好积极的导向作用，形成学生良好的图感。如此，学生才能形成用图形解决数学问题的意识和习惯。

二、出声思维：让数学思维可见化

思维可视性策略既包括“可视性的思维”，也包括“出声性的思维”。我们常说，“语言是思维的外化”，借助语言，可以将自我内隐的思维展现出来。在数学教学中，教师要给学生创造更多的表达时空，鼓励学生运用“数学的语言”进行表达。一方面，通过语言，教师能够精准把脉学生的思维动态，了解学生的思维方向、思维水平;另一方面，学生的内隐思维通过有声化语言得以沟通、碰撞，在对话、沟通、质疑、答辩的过程中得到发展。

例如，教学苏教版五年级下册《圆的认识》，笔者设计“找圆心”的微活动，让学生进行数学探究。有学生认为，可以通过对折，形成两条直径，这两条直径的交点就是圆的圆心;有学生立即反驳，认为黑板上的圆不能对折，这种方法有局限性。面对学生的质疑，学生之间展开了言语交流，形成了基于学生不同数学思维的复调表达。有学生提出，可以“过圆周上任意点画一条直线（切线），然后画这条直线的平行线，但要过对面的圆周上的一点;有学生提出，可以“在圆周上任意画一条直线（圆的切线），然后过这条直线与圆的交点（切点）作这条直线的垂线”;还有学生提出，“在圆周上选一点，用直尺从这一点开始移动，圆上最长的线段就是圆的直径”……透过学生真切的言语表达，不难发现，每一种语言言说的背后，都蕴含着学生的思维假设，都蕴含着学生对数学问题解决的策略。通过学生有声的语言表达，我们能够触摸到学生的思维跳动的脉搏。

出声思维，将学生思维可视化，学生在话语中相互倾听、相互碰撞。由此构筑了相互倾听、应答的“润泽的教室”。当然，有时学生思维表达存在一定漏洞、盲区。如果教师能依循学生话语，理性跟进、捕捉学生思维动态，就能导引学生思维向纵深发展。

三、动作展示：让研究路径显性化

对于小学生而言，如果我们在教学中将抽象、静态的数学问题设计成学生有形、动态的直观动作，就能让学生思维得到展示。在数学教学中，教师要引导学生“做数学”，在观察、操作、实验、演示等具身性活动中，让学生数学研究路径显性化。教师通过学生肢体、动作表达，能够揣摩到学生思维路径、方向。可以这样说，学生动作展示是学生数学思维表达的有效载体。

例如，教学苏教版三年级上册的《长方形和正方形的周长》，其中有一类问题是“拼图形求周长”，对于这一类问题，学生总是容易发生错误。其根本原因在于学生不清楚少了几条边，这些少了的边哪里去了，为什么会少这些边，等等。基于此，笔者在教学中，引导学生进行动作展示，让学生将长方形剪下来，让这些图形动起来。在动的过程中，让学生感受、体验、发现、思考问题。首先，让学生有序地拼一拼。有学生将两个完全相同的长方形的长边拼在一起;有学生将两个完全相同的长方形的宽边拼在一起。其次，让学生用笔描一描。在描的过程中，学生能深刻地体验到，长边拼合在一起就少了两条长边，宽边拼合在一起就少了两条宽边。再次，让学生用笔算一算。通过拼合、描红的操作展示，学生形成了这样的算法：拼合图形周长=原来一个长方形周长×2-拼掉的长或宽。在这“一拼”“一描”“一算”的动作展示中，尽显学生深刻的数学思维，学生的数学研究路径也得以展示。

当代具身认知理论强调身体的感觉和运动系统对思维方式的塑造作用。学生的数学思维往往是伴随着具体的数学活动而展开的。正是在动手做、动手操作、演示等的探究活动中，我们才可能可视化地观察到学生的思维路径、方向、状态。事实上，直观的操作有助于学生思维的形成，同时思维的形成又能反哺学生直观的操作。从这个意义上说，动作与思维是相辅相成、相互促进的关系。可视化教学就是要形成学生“做思共生”的学习状态。

四、反思评价，让结构知识量表化

人的大脑对“量表”非常敏感，其直观性、结构性、严密性和概括性能够有效地提升思维加工的效能，使得这些数学知识、概念更易于被理解、被评价、被迁移。因此，当学生学完了某一个数学知识点后，教师要引导学生对所学的数学知识、概念、关系进行提炼，建构可视化的数学模型，形成量表化的数学知识、数学概念的关系网。这样，有助于增强学生对数学概念的运用能力。

以《因数和倍数》（苏教版小学数学五年级下册）单元教学为例，本单元是小学阶段研究数论的一个单元。许多抽象的概念存在着错综复杂的关系，同时概念的深刻内涵和广阔外延，常常需要教师引领学生不断进行反思评价。通过反思评价，让数学概念串联成“串”，结构成“网”，集约成“体”。比如，对于两个数互质，在学生学完概念后，我们引导学生进行反思概括，形成了三种不同的表达：其一，两个数只有公因数1;其二，两个数的最大公因数是1;其三，两个数没有公有的质因数。对于“互质数”的情况分类，笔者用一个量表，将之分为五种情况，并且在每一种情况里面都嵌入例子。第一种情况：1和任何自然数互质;第二种情况：两个连续的自然数互质;第三种情况：两个连续的奇数互质;第四种情况：两个不相同的素数互质;第五种情况：2的n次方和任何一个奇数互质。由于有了精准化的概念内涵界定和精细化的概念外延分类，学生对“互质数学”的概念有了深刻的把握。在运用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数、在判定一个分数是否是最简分数时，就能左右逢源、游刃有余。

古希腊智者学派的代表人物普罗塔戈拉说：“头脑不是一个要被填满的容器，而是一把需要被点燃的火把。”可视化策略，是学生有效开展数学探究的方式。数学学习，从点状概念开始，逐步向线型、网状、系统状的思维量表过渡，有助于培育学生问题分析、推理等能力。

从可视化的视角进行数学教学，就是要充分发挥图形、动作、语言、图标等外在的形象化表征在教学中的作用，将数学的抽象问题、学生的思维过程动态地展现出来，从而帮助学生更好地理解、记忆和应用数学知识，引领学生的思维向纵深发展。可视化教学不仅仅是一种教学行动与教学策略，更是一种教学理念与教学思想。