Fubini定理的应用探讨

张顺钦　姚恺

摘 要 本文运用Fubini定理解决了勒贝格积分在非负可测的情况下积分域上取极限的问题，并且通过推广与举例得到对Fubini定理以及积分域上取极限更深刻的认识。

关键词 Fubini定理 极限 积分域

中图分类号：O141.41 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.10.020

Discussion on the Application of Fubini Theorem

ZHANG Shunqin， YAO Kai

（School of Science， China University of Mining & Technology，Beijing 100083）

Abstract In this paper， the Fobini theorem is used to solve the problem that the Lebesgue integral takes the limit in the integral domain under non-negative measurable conditions， and a more profound understanding of the Fubini theorem and the limit of the integral domain is obtained by generalization and examples.

Keywords Fubini theorem； limit； integral domain

实变函数是19世纪下半叶形成的数学分支，它是微积分学的进一步发展。它在数学的其他分支，尤其是泛函分析和拓扑学中应用也很广泛。Fubini定理是实变函数中重要的计算积分的工具。Fubini定理在简化积分计算，化高阶积分为低阶积分中起着重要作用。下面我们通过具体实例，探讨Fubini定理在理论推导和计算积分时的应用。

Fubini定理：（1）设在（，分别为与中之可测集）上非负可测，则对a.e.的作为的函数在上可测，且

（2）设在上可积，则对a.e.的作为的函数在上可积，又作为的函数在上可积且（*）式成立。

首先我们引入积分区域取极限的情况下积分的变化。

定理1：如果满足以下条件：

1）；

2）为可测集；

3）在上非负可测，

则。

证明：设 ，则由于在上非负可测，为可测集，所以为上的一列非负可测函数。

当时，对于任意自然数有，且，由列维定理我们得：

，故

。

当定理1证明完成之后，我们自然会联想在二维情况下的积分是什么样的？我们发现，如果满足与一维相似的条件，同样可以得到这个结论。

定理2：如果满足以下条件：

1），；

2）均为可测集；

3）在上非负可测，其中。

则有 。

证明：由Fubini定理，

。

由于在任意的上非负可测，则由Fubini定理，对a.e的作为的函數在Am上非负可测。

由定理1

，

再由条件1）和条件2），取，可得。又为可测集，且在任意的上非负可测，故由定理1知。

综上，定理2成立。

下面我们举例说明上述定理的应用。

例1.求。

解： 由于，且在任意的上非负可测

所以 。

例2.求证：。

证明：

于是计算

，

所以的极限不存在。而我们计算。结论即证。

注：从例2中可以看出，如果在定理2中仅仅满足条件1）和条件2），而不满足条件3）中非负的条件，结论是不一定成立的。

基金项目：中国矿业大学（北京）大学生创新训练项目（C201707544）“Lebesgue空间理论及其应用”（指导教师：林燕）

参考文献

[1] 程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.实变函数与泛函分析基础（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 黄重器.Fubini定理的推广[J].龙岩师专学报，1983.1（2）：15-21.