心理学视角下的高中数学解题教学

李凯

【内容摘要】从心理学中“新手与专家比较”的角度研究学生的解题过程，可以避免机械的行为主义。高中数学教学中，要让学生（新手）较快地达到教师（专家）水平，需要从学生的知识结构、问题表征方式以及教学策略上入手，同时还需要关注一些教学细节。

【关键词】高中数学 解题教学 心理学视角

在高中数学教学中，解题教学是最重要的环节之一，为了迅速达到教学目标，很多教师常常会组织学生进行大量地重复地训练，以求学生自己形成良好的解题直觉，然而这样机械式的重复，有时候往往事倍功半，甚至反而使师生都觉得疲惫不已，苦不堪言。在试图有所改变的时候，笔者选择了学习心理学作为解剖自己教学的手术刀，结果发现之前的做法带有明显的行为主义的影子：通过重复训练，来让学生形成解题本能[1]。而事实上要想达到同样的目标，基于“专家与新手”的相关理论研究，对于高中数学解题教学而言，是一条更有价值的途径。

一、 “新手與专家”的理论研究

上世纪，拉金（J.H.Larkin）等人对新手与专家在面对问题时的解决思路进行了研究，结果反映出两者在知识结构与问题表征上存在着明显的差异。在心理学中，知识结构是指学生经过学习之后形成的知识体系的构成情况与结合方式；问题表征是解题的起点，是指学生在面对问题的时候，建立起的从问题解决的起始状态到目标状态之间的认识。

研究发现，新手在解决问题的过程中所运用的知识呈现出“小单元”的情形，而专家则是将这些“小单元”组织成了“大单元”。打个比方，这就跟吃葡萄一样，新手一拿一个，而专家一拿一串；而从问题表征的角度来看，新手解决问题时往往步骤较多，且通常都是思考一步、核对一步，不容易形成系统的思路；而专家则能够运用自动化的解题步骤迅速解决问题。有意思的是，当专家遇到不熟悉的问题，或将其置于一个新的领域时，其表现与新手基本无异。

二、 新手惯用的问题解决策略

高中数学解题教学中，学生无疑是以新手的身份存在的。比如在圆锥曲线新课教学时给出这样的问题：已知定点F和定直线l，F不在直线l上，动圆M过点F且与直线l相切。求证：圆心M的轨迹是一条抛物线。据笔者的观察与调查，学生由于是初学，所以往往会从抛物线的判定角度切入，然后调用大脑中已经学过的抛物线的定义，并尝试将原题中信息与抛物线定义“匹配”起来。这里，学生搜索抛物线定义是知识结构的体现，而寻求“匹配”关系则是问题表征的一种体现。调查结果表明，新手在遇到问题的时候，通常都会基于问题去寻找相应的数学定义、公式或规律，然后尝试到题目中寻找有用的语言来匹配定义，或寻找数据来代入公式以求解。这不仅反映了学生知识结构的简单，而且这样的问题表征方式决定了其后的解题策略往往是低效的。

“逆推式”就是新手惯用的问题解决策略，即从习题的所求问题向习题所给条件的推理。譬如上例中，证明过程常常是这样写的：因为动圆M过F与直线l相切，所以MF与M点到直线的距离相等，由抛物线定义可得，M点轨迹为以F为焦点，以直线l为准线的抛物线方程。而这个过程与学生的推理过程是相反的，有经验的教师都知道，绝大多数问题的解决基本上都是这样的一个过程，因此有不少学生总结：将自己的思考过程反过来写，就是解题过程了！这是典型的逆推思维，而学生之所以下意识地选择这一策略，与其知识结构是密切相关的，学生不可能有丰富的知识结构，其对数学知识之间的联系远不如教师那般娴熟，这就“逼”着学生只可能逆推，而这种思维方式一旦形成，又会影响学生的问题表征，从而形成某种意义上的恶性循环。

三、 新手变成专家的策略探究

相对于新手而言，专家（教师）通常不会采用逆推的解题策略，而是采用从已知到目标的推理策略。如果教师注意反思自己的解题教学，会发现总喜欢从条件出发，去一步步走向目标，此过程中还会不经意地有一些新的发现——题目没让求，但可以得到一系列的子结论。此时，学生常常也会问：你是怎么想得到的呢？这就意味着学生也是渴求这样的解题策略的。笔者经过实践摸索，总结出了可以让新手变成专家的两种有效策略。

1.帮助学生建立和完善思维导图

思维导图最大的价值在于可以引导学生在寻找数学知识联系的过程中拥有清晰的思路，需要注意的是，当前网络上现成的思维导图非常多，但笔者不建议直接给学生，因为思维导图是思维的产物，如果不经学生的独立思考和知识梳理而直接呈现结果，这只能引导学生去机械记忆，这就失去了思维导图运用的本意了。简单一点说，就是要让学生经历“导”的过程，所导之图可以是粗糙的，但只要日进一步，学生就一定会更好地理解数学知识之间的联系。

2.培养学生良好的问题表征能力

心理学家普遍认为，问题表征决定着解题的质量[2]。笔者认为培养高中数学问题表征能力应注重以下两点：一是让学生养成良好的由条件到目标的推理习惯。这里有一个重要细节，就是让学生在日常的习题训练中，不要急于获得最终的答案，而是要思考由已知条件能够推理出哪些可能的结果，然后判断题目所提的问题在不在自己的推理范围之内，而笔者的策略之一，常常是只提供题干而不问问题；二是让学生“大声”说出推理思路，“说出来”要优于“想得到”，因为这是将思维转换成语言的过程，“大声”要优于“轻声”，因为其可以提高学生的注意力，可以“逼着”学生运用更严密的逻辑、更清晰的语言来让自己的思路显现出来。

总之，在基于学生核心素养的教育改革大背景下，死记硬背和题海战术等教学手段早就变得不合时宜，教师需要以科学的方法论和心理观为指导，在教学的方法和策略上作出调整，来适应学生的认知水平，以实现学生的自身发展和全面发展。

【参考文献】

[1] 范建玮. 数学解题的心理学研究综述[J]. 数学教学研究， 2010， 29（11）：2-4.

[2] 范建玮. 关于数学解题的心理学研究[D]. 重庆师范大学， 2003.

（作者单位：江苏省启东市吕四中学）endprint