中考数学中分类讨论思想例析

甘宗全

[摘 要]分类讨论思想是中考數学常常涉及的内容.研究分类讨论思想能有助于提高学生的解题能力.

[关键词]分类讨论思想；中考；数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）32003001

中考常常会考查分类讨论问题，需要学生将所有可能存在的方面考虑清楚，针对各个不同方面进行问题处理.中考涉及分类讨论问题，主要包括方程组问题、三角函数问题和两车相距问题.解决这些问题需要将存在的情况详细列举出来，全面分析，实现对问题的处理.我针对以下几方面进行例题分析，以便让学生可以做到举一反三，充分掌握分类讨论思想.

一、方程组问题的分类讨论

方程组问题主要包括不等式和一元二次方程，要求学生熟练掌握方程组分类讨论思想，实现对问题的有序解决.

1.不等式分类讨论

不等式分类讨论问题，主要考查学生对方程参数大小的确定，让学生针对可能存在的情况去分析、解决问题.例如，|ax+5|>3，求x的取值范围.很多学生都会列方程去解不等式，得出x>-2/a和x<-8/a.此时，我会引导学生说：“大家在解答不等式时，不等式左右分别除以正数和负数，方程组符号会怎样发生变化呢？”学生回答道：“除以正数符号不变，除以负数符号改变.”接着，我会问学生：“题目中是否给了a的范围，它的取值可能为哪几种情况呢？”在这个时候，学生立刻意识到自己考虑问题的不全面性，纷纷回答道：“a的取值范围为a>0、a<0和a=0这三种情况，需要针对这三种情况进行分类讨论.”这时，我让学生应用分类讨论思想去解决这个问题.很多学生充分考虑各种可能存在的情况，得出ax+5>3、ax+5<-3.接着得出x>-2/a、x<-2/a、x<-8/a和x>-8/a，把a=0、a<0、a>0这三种情况代入其中，从而得到最终的答案.

2.一元二次方程分类讨论

一元二次方程分类讨论，通过一些隐含条件来限定参数的范围，针对不同情况进行分类讨论.例如，一元二次方程（a-1）x|a-3|+x2-3=0，求a的值.这时我会问学生：“这道题目怎么去应用分类讨论思想呢？”学生在看完问题后回答道：“该方程为一元二次方程，需要有x2这个项，需要讨论a-3是否等于2.”接着，我会让学生按照自我分析的思想去解答.此时，学生参照a-3=2和a-3≠2进行讨论，得出a=5时，方程组为5x2-3=0，Δt>0，所以方程组有解，a=5方程成立.接着，将|a-3|=1和|a-3|=0进行分类讨论，最终得到a所有可能取得的值.

二、三角函数问题的分类讨论

三角形的分类讨论，主要集中在对三角形内角和为180°、等腰三角形、等边三角形、直角三角形和两边和大于第三边和两边差小于第三边这六种情况.需要学生将这些问题综合在一起，得出最终的答案.例如，x2-9x+18=0的两个根为等腰三角形的两个边，求三角形的周长.我在对此类问题进行分类讨论时，首先会让学生把方程组的解列举出来.此时，学生通过解方程得到x=3和x=6.我会问学生：“三角形的周长为多少呢？”很多学生回答道：“12和15.”很少一部分学生回答道：“只能是15.”我在这个时候会让回答“15”的学生来分析原因，该生此时说道：“当等腰三角形三个边为3、3、6时，此时不满足两边和大于第三边的原则，所以周长不能为12.”我在这个时候对学生总结道：“大家在解答问题时，一定要结合三角函数相关的性质和定理，学会运用分类讨论思想，最终得出正确的答案.”

三、相遇问题的分类讨论

在中考应用题考试中，常常会以两车相距问题来考查追及问题、相遇问题和相遇次数问题.因此，要求学生在解决两车相距问题时，充分进行分类讨论，把实际问题考虑全面.例如，A、B两地相距450千米，甲、乙两车从A、B两地出发相向而行，甲车速度为120千米/小时，乙车为80千米/小时，经过t小时两车相距50千米，问t的取值为多少小时？，我会问学生：“两车相距50千米是怎样的情况呢？”学生思考后回答道：“一共两种情况，一种为两车还未相遇，距离为50千米；一种为两车相遇后，彼此分开后距离达到50千米.”这时，我让学生按照这两种思路去解答问题.学生可以得出“120×t+80×t=400”“120×t+80×t=500”这两个数学表达式，得出t=2小时和t=2.5小时.接着，我会问学生：“大家在思考这类问题时，会出现怎样的问题呢？”很多学生回答道：“只会单一考虑两车相遇前距离为50千米，而没有考虑到两车相遇后，彼此分离再次达到50千米这种情况.”我总结道：“大家在解决两车相距问题时，一定要考虑全面两车之间的位置问题，把可能存在的问题详细列举出来，便于得出最全面的答案.”

中考数学中，分类讨论思想是需要学生灵活掌握的，能够全面把可能存在的情况考虑全面，最终得到最正确的答案.因此，要求学生合理划分分类讨论问题的类型，把方程组问题、三角函数问题、两车相距问题的解题要素考虑全面，针对不同类型采用恰当的解题方式，充分提高学生的解题能力.

（责任编辑 黄桂坚）