例谈应用递推思想处理数列问题

曹程锦+吴伟朝+王强芳

[摘 要]递推思想是一种重要的数学思想.通过递推可以把有限的问题延伸到无限的境界.应用递推思想处理复杂的数列问题特别有效，同时能训练学生思维，培养学生能力.

[关键词]递推思想；数列问题；高中数学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）32001704

众所周知，处理数列问题的方法多种多样，技巧也层出不穷.笔者试图给出一个重要思想方法——递推法.递推是通过有限认识无限的一种数学思想.通过递推可以把有限的问题延伸到无限的境界.递推不是直接去面对问题，而是借助相邻或相近若干项之间建立的一种递推关系，如同新增加一个已知条件，使得问题更加容易获解.其中，数学归纳法是递推关系中的一种非常常用的方法.递推法在证明一些较为复杂的数列问题时显得特别有效.本文旨在系统介绍此法在数学竞赛中与数列相关问题中的应用，注重分析问题、解决问题的思维过程，渗透思想方法，提高学生解决问题的能力.

一、证明不等式问题

最后，巧妙地推证了式②的右边，即本题的解答过程是先证式②的右边，然后再用右式证明左边.同时左右两边的证明都是利用an与an-1的大小通过放缩巧妙证明了结论，解法非常接地气！

.此题背景为著名的贝努利放错信笺问题，即错位排列问题，又称更列问题.

三、解与递推数列相关的最值问题

因此，当m=k+1时结论成立.由数学归纳法可知结论成立.

综上所述，正数λ的最小值为2.

评注：本题主要是通过构造数列，利用递推思想结合数列单调性和极限观点的方法加以解决.解决此题的关键是：构造相应递推数列并利用柯西不等式证明不等式

故所构造的序列满足所有条件.

评注：此题运用了逐步逼近的数学思想.有些数学问题中，题目的条件与解题目标相距甚远，难以一下就达到目的，这时需要采用逼近的策略来实现解题目标：从条件出发，一步一步逼近目标.如果我们寻找的对象需要同时满足多个条件，我们可先构造一个满足题中部分条件的数学对象，称为“拟对象”，然后对所构造的拟对象进行优化，直至使之满足题目的全部条件.同时，数学解题的过程不可能一蹴而就，而是一个不断经历挫折和失败而逐步走向成功的过程，只有经历这样的过程才能提高解题者的心理能力，才能积累解题经验，最终成为解题高手！

本文研討方法主要体现为解数列不等式问题，依托递推方法来讨论，具体利用数学归纳法求解.同时，间接递推法也是离散数学的主要方法之一，它有较高的理论和应用价值，在图论、数论、代数数列、组合计数、组合几何等多领域中均有渗透，因此递推法——堪称数列的问题“御用保镖”！而数学归纳法的本质即是递推关系解题一种实际应用.

[ 参 考 文 献 ]

[1]沈文选.奥林匹克数学中的组合问题[M].长沙：湖南师范大学出版社，2015.

[2]刘培杰.历届中国数学奥林匹克试题集[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2014.

[3]曹程锦.递推法证明数列不等式[J].数学教学，2017（4）.

（责任编辑 黄桂坚）