关于平行公设的一个初等探讨

徐成照

[摘 要]平行公设也叫欧氏第五公设或平行公理，是建立欧氏平行理论的出发点及主要依据.其内容是：若平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于兩直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.探讨这一公设对开阔教师视野，提高教师素质有一定的现实意义.

[关键词]平行公设；欧氏几何；初等；探讨

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2017）32001601

《几何原本》中著名的第五公设是：“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两内角之和小于两直角，则这两条直线无限延长后在这一侧一定相交.”它引发了几何史上最著名的、长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何.

由于第五公设较为复杂、抽象，欧几里得本人也只在《原本》第一卷命题29用过一次，以后就不在用.人们对它产生了怀疑.一直不被世人所公认.两千多年来，无数数学家及数学爱好者都想方设法去证明它，他们都走入了循环论证的圈套，给出的都是一伪证明，可都无功而返，至今悬而未解.

大家知道，可以用一个更为直观、易于验证、为世人所公认的平行公设来代替第五公设.平行公设——在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行.本文采用初等数学知识来探讨平行公设的合理性，这将有助于帮助学生更好地理解平面几何的基础知识，也能为教师的教学提供有益的参考.

综上所述，在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行是绝对正确的.

（责任编辑 黄桂坚）