解析几何一轮复习中的难点教学的思考

江苏省无锡市大桥实验学校 (214000)

吴 燕

江苏省无锡市青山高级中学 (214000)

张启兆

解析几何一轮复习中的难点教学的思考

江苏省无锡市大桥实验学校 (214000)

吴 燕

江苏省无锡市青山高级中学 (214000)

张启兆

高三数学一轮复习是整个高考数学复习的基础，一轮复习以教材的知识体系作为复习的主要线索，帮助学生对学过的基础知识进行全面的梳理，并对基本技能、基本思想和基本活动经验进行总结、归纳，从而初步构建高中数学的网络.解析几何是历年高考必考的知识点之一.然而学生在解析几何学习中存在一系列难点：一是对解析几何中的基本概念与基本公式理解不深刻；二是对平面解析几何的基本思想理解不到位；三是代数运算能力弱.本文谈谈对解析几何一轮复习中难点的教学的实践与思考.

1.实行问题导思，激活知识梳理

一轮复习不是对已学知识的简单重复和强化，而是一个再学习、提高综合运用能力的过程.对于高三复习课，如何梳理基础知识是高三数学老师必须解决的第一个问题，我们的做法是：实行问题导思，激活知识梳理，促进学生主动建构知识网络.课前，首先，教师要合理设计问题，然后提供知识复习整理提纲(学案)，学生课前阅读课本，这样可以提高学生对课本知识和概念的参与度，避免课堂教学中因复习知识而占用大量的时间.接着，学生将课本中知识点整理到学案上进行理解和记忆，教师课前检查，目的是强化学生对基础知识和概念的记忆，为后面的学习提供集中、全面的基础知识复习材料.最后，教师将教学目的分解，以知识为线索编制4-5个题目，直接体现本节课知识点的应用，学生独立完成，要求题后总结所用知识点或方法，教师检查，目的是不断激发学生的学习动机，促进学生对基础知识和概念的应用.

案例1 “抛物线”的教学片段.

课前笔者根据苏教版2012年第三版第52页内容提出了下面的问题：

图1 图2 图3

设抛物线的轴和它的准线交于点E，过焦点垂直于轴的直线交抛物线于P、Q两点，如图1所示.求证：EP⊥EQ.

经过短暂的思考，笔者与学生进行了以下交流：

教师：大家准备从哪个角度来解决问题，是几何角度(即几何综合证明)还是代数角度(即通过计算来证明)？

学生：我准备从代数角度，通过计算两直线的斜率之积为-1.

教师：从代数角度是合适的，因为解析几何的基本思想是用代数方法来研究几何问题.

教师：从代数角度首先要做什么工作？

学生：建立平面直角坐标系.

教师：你准备怎样建？

学生：以抛物线的轴为x轴，以线段EF的中点为坐标原点建系，如图2.

教师：抛物线的方程是什么？对应的焦点坐标和准线方程呢？

教师：你设的方程中p有什么几何意义？

美国著名数学教育家波利亚曾说：“一个专心且认真备课的老师能够拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”以问题为载体梳理知识框架的好处在于既能达成系统梳理知识的目标，又能以问题为中心吸引学生积极参与其中，调动学生思维的积极性，改变课堂上被动接受的状态.

2.落实“四个重点”，打造灵动课堂.

课堂是教学的主阵地，高效课堂是实现高效教学的必要条件.高三一轮复习的课型主要是专题复习课和讲评课，不管哪种课型，积极落实“四个重点”，打造灵动课堂，努力使学生对平面解析几何的基础知识、基本思想理解到位、代数运算能力的提高到位.

2.1 重基础，通概念，培养学生理解能力；

解析几何的核心观点就是恰当运用代数的方法解决几何问题，基本思想是数形结合思想，核心方法是坐标法.数形结合思想和坐标法是统领全局的，解析几何就是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门学科.

用解析法研究几何图形的性质，须先将几何图形置于坐标系下，让“形”与“数”对应起来，将“形”进行翻译转化：把点转化为坐标、把曲线转化为方程，把题目中明显的或隐含的解题所需要的一切几何特征，用数式和数量关系表示出来.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

根据以上问题的求解过程，填写下表：

几何条件本质特征转化成适当的代数关系(ⅰ)BE=BF等腰三角形，三线合一kEFkBN=-1(其中N是EF的中点)(ⅱ)∠EAF的角平分线是x轴直线AE、AF关于x轴对称kAE+kAF=0(ⅲ)以线段OE、OF为邻边作平行四边形OEFP，顶点P在椭圆C上OE→+OF→=OP→xP=xE+xFyP=yE+yF{(ⅳ)若以EF为直径的圆过原点OE⊥OFOE→·OF→=0xExF+yEyF=0(ⅴ)直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形直线MA、MB关于x=xM对称kMA+kMB=0

通过这道例题，在不同问题情境中概括总结“几何条件转化成代数关系”的核心方法：分析几何条件的本质特征，选择适当的代数形式来表示.这种意识再提高就是“从现象到本质，抓住事物的本质认识事物”.常见的几何关系与几何特征的代数化有：①线段的中点：坐标公式；②线段的长：弦长公式；③三角形面积： 底×高，正弦定理面积公式；④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式；⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比；⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比；⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式；⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称；⑨直线与圆的位置关系；⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征.

要防止一种误区：基础题不讲，追求难题，背概念或公式，不提知识如何生成.教师应重视常规基础题的练习，从不起眼的解题细节抓起，利用“三种意识”打通解析几何的思路，夯实学生的基本知识和技能，提高学生的理解能力，才能解决更难的问题.

2.2 重过程，通思维，培养学生分析能力

面对问题，学生会经历审题、思考、解决、出现错误、修改、调整方案等一系列过程，在每个环节都会出现疑惑、纠结，而经过思考、实践产生的纠结也恰恰是解题能力提高的一个增长点.教学中我们要重视过程，做到：①要合理展示教师的思维过程.学生的思维往往是在模仿教师的思维中逐渐形成的，所以教师在课堂教学时应注意思维形式的“显化”.教师要尽量设法使学生看到，面对一个新问题，自己是怎样寻求解决思路的？其依据是什么？特别是在思路受阻后是如何调整思路的？为什么这样调整？等.千万不要给学生造成这样的错觉：老师很神，无论问题多难都能迎刃而解.要让学生在“跟随教师的思维过程”中学会思维，让数学变得自然.②要充分展示学生的思维过程.课堂教学中应给学生充分暴露和展示思维过程的机会，传统教学中的口头提问、板演等都是展示学生思维的方式.只有这样我们才能及时地发现学生的思维“闪光点”和存在的问题，并肯定正确、矫正错误，才能让学生在“过程”中有效地习得方法、达成技能、发展思维、建立思想、形成能力.

案例3 试卷讲评片段.

(2)设B(x1,y1),C(x2,y2)，且3y1+y2=0，求当ΔOBC面积最大时，直线l的方程.

教师：这道题你是怎样思考的？先分析第(1)小题.

图4

学生：由于本题没有给图，所以在读题时应该在草稿纸上先画个图(如图4)，再从目标出发:要求ΔOBC面积的最大值，可以建立目标函数，设直线BC的方程为y=kx+b，把直线与椭圆方程联立，求出弦BC的长，再求出点O到直线BC的距离，我忘记讨论直线BC的斜率是否存在，被扣分了.

教师：这位同学的解题思路是常规方法，值得表扬.如何表示ΔOBC面积是求解本题的关键，那么ΔOBC的面积还有其他表示方法吗？

学生：由于ΔOBC中，OB是定长，故以OB为底边，问题转化为求点C到直线OB的距离的最大值.

教师：结合图形和已知条件，选择合适的解题路径，可以简化解析几何的运算.

教师：下面我们请你谈谈对第(2)小题思考过程.

学生：我是仿照第(1)小题，设直线BC的方程为y=kx+b，把直线与椭圆方程联立，求出弦BC的长，……，然后做不下去了.

教师：那么ΔOBC的面积还有其他表示方法吗？

学生：把ΔOBC分割成便于表示底边与高的两个三角形求面积(BC与y轴交于点A)，SΔOBC=SΔABO-SΔACO.

教师：这个思路值得大家借鉴，接下来请你尝试做一下.

……

教师：下面请哪位同学和大家分享一下解题过程.

……

2.3 重训练，通算理，培养学生运算能力

如何来提高学生的运算能力，我们在课堂教学中做到以下四个方面：①要让学生准确理解和掌握基础知识、公式和法则.②注重学生基本运算技能的培养，课堂上要留出一定时间让学生进行当堂训练.③注重数学思想方法与运算技能的有机结合.运算能力发展到一定的水平，即形成了运算的基本方法和技能，此时还需不断运用有关的数学思想方法，如运算中的转化意识，将要计算的问题转化为容易求解的问题，这也是运算能力的一个重要组成部分.④重视算理算法，加强限时计算.注重积累，优化解题方法.教学中需要对学生的解题方法进行梳理、改造，让学生明白每一种方法的优点(适用面)和缺点(不适用面)，从而在解题时根据具体情况，选择有效、便捷的方法解决问题.

比如，要两手抓：一手抓基础：基本概念、基本方法、常见问题，“弦长公式”，“图形面积的计算”，“轨迹方程”，“定点定值——先猜后证”，“最值问题——目标函数”，“存在性问题——从特殊出发”，运算基本功.一手抓思考：知其然更需知其所以然，带着思考去解题而不是带着套路去解题；帮助学生掌握处理解析几何问题的一般思维方法；给学生以“锻炼”思维的机会.

图5

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过点A作AP∥OM交椭圆C于点P，求证：BP∥ON.

(2)教师：谈谈你对第(2)小题的理解，问题出在哪里？

学生：题目问题为求证：BP∥ON，但是我找不到所需证明的等价代数条件，因此无从下手.

教师：对于本题而言，需求证结论看起来确实突兀，我们来挖掘题目已有信息.

教师：题目中的条件AP∥OM意味着什么？

学生：意味着kAP=kOM.

教师：很好！因此，要验证kBP=kON,除了直接计算外，还可以如何进行验算？学生有所悟，但不是十分明确，教师进行第二次引导.

对于圆而言，在圆周上找一点P与两点A,B连线斜率乘积为定值-1，即kAP·kBP=-1.对于椭圆而言，是否有相似结论？

教师：对本题而言意味着什么？

教师：很好！对于本题而言，我们接下来只需验证什么条件？

教师：我们研究解析几何问题可分为三步：生点、定点、译点.大家如何进行这三步？

教师：很好！还有其它思路吗？

教师：很好！下面请1、2小组按思路1计算，3、4小组按思路2计算.

2.4 重小结，通思想，培养学生迁移能力

行为派心理学认为，初步形成的行为必须适时强化，不强化就会消退.高三复习通过课堂小结和单元小结对知识概括提炼，有利于学生建立良好的认知图式，强化知识，促进迁移.通过知识间的联系把知识进行整合，将难于理解的知识规律化，使学生零散的知识穿成串，结成网，变成“集成电路”印在学生的脑海里.此外，要重视解题过程中思想方法的提炼与运用，如①坐标法；②方程思想；③函数思想；④分类讨论；⑤数形结合；⑥对称思想；⑦参数思想.

案例5 解析几何中变量的取值范围问题.

问题1 点P是抛物线C:y2=2x上的动点，点R，N在y轴上，圆(x-1)2+y2=1内切于ΔPRN，求ΔPRN的面积的最小值.

图6

待学生尝试解决了三个问题后，归纳概括出解决解析几何中变量的取值范围(最值)问题的常见策略：

3个问题，方法各异，需要根据问题的特点，合理选择恰当的方法，学生在方法的比较中领悟各种方法的本质及适用的情境，从而实现突破瓶颈，以不变应万变.

总之，在解析几何一轮复习教学过程中，教师要以新课标理念为指导，转变教学观念，进行单元整体教学设计，重基础、重过程、重训练、重小结，注意站在学生的角度，想学生之所想，难学生之所难，疑学生之所疑，降低学生的认知难度，把课堂变成师生共同探索发现、共同提出问题、共同解决问题的阵地.从而使学生积极主动地学习，促进学生积极地参与课堂探究活动，让学生在亲身体验中了解数学知识发生、发展的过程，体会数学知识的应用价值，培养学习的兴趣，学会学习的方法，全面提高学生的数学素养.

[1]章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考[J].数学通报，2013,6.

[2]徐德同.以本为本，合理探究，自然生成，提高复习效率[J].数学通讯，2014,7.

[3]张启兆.有意义学习：素质教育在课堂教学中的落脚点[J].中学数学教学参考，2000，12.