圆锥曲线统一性教学反思

常海英

【摘要】人教A版教科书《高中数学选修2-1》在编写“圆锥曲线”内容时，在例题、习题、阅读资料等内容设置上都渗透或体现着圆锥曲线性质与方程的统一性，如果在教学中能将这些内容整合，形成整体认识，对学生和教师加深对圆锥曲线的认识大有好处.

【关键词】椭圆；双曲线；抛物线

将教材中例题、习题、探究问题等问题进行对比，推广并整理成一般性结论，形成对圆锥曲线统一性的整体认知.人教A版教科书《高中数学选修2-1》中有这样一些例题和习题：（1）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-49，求点M的轨迹方程.

（2）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为49，求点M的轨迹方程.

（3）一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x+5=0外切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线？

（4）一动圆经过定点F（3，0），同时与定直线l：x=-3相切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线？

上述问题中，（1）（3）所求出的轨迹是椭圆，（2）求出的是双曲线，（4）是双曲线.将上述4个问题一般化，我们就可以整合出圆锥曲线的统一性对照表.

项目椭圆双曲线抛物线

定义

第一定义

|PF1|+|PF2|=2a（a>c>0）

F1（c，0），F2（-c，0）

第一定義||PF1|-|PF2||=2a（c>a>0）

F1（c，0）F2（-c，0）

第二定义平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0

第二定义平面内到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数e（e>1）的点的集合.

平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的集合.（其中|MN|表示动点M到定直线l的距离）

标准方程

对应方程

x2a2+y2b2=1（a>b>0）

（a2=b2+c2）

x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

（c2=a2+b2）

y2=2px（p>0）

Fp2，0，l：x=-p2

统一方程（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0

动点轨迹及性质

1

与两个定圆一个内切一个外切的动圆圆心的轨迹是椭圆.

与两个定圆都外切的动圆圆心的轨迹是双曲线.

经过一个定点且与定直线相切的动圆圆心轨迹是抛物线.

2圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是椭圆.

圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点.线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是双曲线.

3椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）

除长轴两顶点外任一点P与长轴两顶点连线的斜率之积为常数-b2a2.

双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上除两顶点外任一点P与两顶点连线的斜率之积为常数b2a2.

4

若椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上一动点，M是x轴上一点，且PM平分△PF1F2，以P为顶点的外角，过F2作PM的垂线，交F1P延长线上一点Q，则Q点的轨迹是圆.

若双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线上一动点，M是x轴上一点，且PM平分∠F1PF2，过F2作PM的垂线，交F1P上一点Q，则Q点的轨迹是圆.

以椭圆为例，现将椭圆的第一定义转化到第二定义上.如图，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1，F2的坐标分别是（-c，0），（c，0）.又设M与F1，F2的距离的和为2a（a>c>0）.由椭圆的定义，椭圆就是集合

P={M||MF1|+|MF2|=2a}.

因为|MF1|=（x+c）2+y2，|MF2|=（x-c）2+y2，

所以（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a.（*）

整理得（x-c）2+y2a2c-x=ca.（1）

表示点M到定点F2与到定直线x=a2c的距离之比等于定值ca.

（x+c）2+y2x+a2c=ca.（2）

表示点M到定点F1与到定直线x=-a2c的距离之比等于定值ca.

（1）式或（2）式告诉我们，椭圆就是到定点与到定直线的距离之比等于定值的点的轨迹.这样就由椭圆第一定义转化到第二定义上了，并且椭圆有两个焦点，两条对应准线，比值为离心率e.仿照上述推导，双曲线也会出现类似结论.这样就深入理解了椭圆、双曲线第一定义和第二定义之间的联系，更深入理解椭圆和双曲线之间有众多统一性的内在本质.