对“将军饮马”问题解决的思考和拓展

潜宗武

【摘要】本文认为将军饮马的问题就是利用轴对称变换改变线段的位置，从而达到利用“两点之间线段最短”来求最小值的问题，接下来作者又介绍了利用平移、旋转、相似变换移动线段用类似方法求最小值的例子，特别是利用相似变换求最小值的例子是本文的亮点.最后，本文还将文中例子升华，找到了一类最小值问题和光的反射、折射路线的关系.

一、“将军饮马”问题解决的本质是轴对称变换的应用

“将军饮马”的故事大家都非常熟悉，它可以转化为下面的数学模型.

问题1如图所示，A，B表示直线l外两个定点，P为直线l上的任意一点，连接AP，BP，问P在什么位置，能使（AP+BP）最小？

这个问题的解决主要分两步：

第一步用轴对称变换转移线段AP到CP，把AP+BP最小的问题转化为CP+BP最小.

第二步用“C，B两点间线段最短”解决问题.类似的题目教材上还有一个，见问题2.

问题1图

问题2图

问题2如图，村庄A，B在小河（假定河宽处处相等）的两边，现在两个村庄间修一条公路，河上要架桥，桥和河岸垂直.请你设计修路方案，使得公路的总长度最短？

本题的解决也分两步，第一步平移AM到CN，因为河宽处处相等，问题就转化为CN+BN最小的问题，第二步用“C，B两点间线段最短”解决问题.

上面两个问题来自教材，从图形变换的思路来研究问题，不仅使思路简捷，更为我们解决类似问题提供了方法.

二、利用相似变换解决一类求最值的例子

问题3如图所示，小明在河岸上A处发现河中B处有一个人在喊救命，小明先沿河岸跑一段到C，然后径直游到B处.已知BP⊥AP，BP=5米，AP=10米，如果救人者在岸上跑步的速度为5米/秒，在水中的速度为1米/秒，想要最快到B处，求最短时间？

分析本题实际上求AC5+BC的最小值，不是简单的两条线段的和，表面上只能用代数方法了，但是也有类似的解答：

如图所示，作∠FAC=arcsin15，CD⊥AF于D，则CD=AC5.移动C点，由相似或者三角函数的知识始终有CD=AC5，这样AC5+BC=BC+CD，因为CD⊥AF，所以当B，C，D三点共线时，同时有BD⊥AF，根据垂线段最短，可以说明此时AC5+BC最小.

本题如果选用代数方法，会相当复杂，这里巧妙应用相似变换使问题解决的相当精彩，当然这一思路的形成来自于前面两个问题的反思，也许大家会想到中学还有个旋转变换，关于这方面的例子请大家参考费马点，这里不再赘述，因为我在进行这方面思考时有了新的发现.

三、科学中光的反射、折射路线和这类最小值问题的关系

问题4如图所示，DP表示河岸，小明在河边的广场上A处发现河中B处有一个人在喊救命，小明先在广场上跑一段到河边C点，然后跳进河里游到B处.已知B到河边的距离BP=5米，A到河边的距离AD=4米，DP=10米，如果救人者在陆地上的速度为5米/秒，在水中的速度为1米/秒，要最快到B处，求最短时间？

分析本题就是问题3的拓展，更有实际意義，而实际上“将军饮马”问题中，如果饮马前后的速度不一样，也是一样的问题.读到这里大家一定希望看到类似的简捷解法，但是笔者能力有限，要让您失望了，我决定用代数方法先找到答案.

解设CP=x，则CD=（10-x）.所花时间用y表示.

y=42+（10-x）25+x2+52，求其导函数：

y′=x-10542+（10-x）2+xx2+25.

令y′=0，得x-10542+（10-x）2+xx2+25=0，

即10-x542+（10-x）2=xx2+25.

这个方程可以解，但是意义不大，我发现这其实就是：CD5AC=CPBC，再清楚点作EF⊥CP于点C，得到sin∠ACEsin∠BCF=51，也就是说满足这个条件时，所花的时间最少.这是什么结论？我们先看物理中光的折射定律：入射角和折射角的正弦值之比等于光在两种介质中的速度比.

看来，应该走光的折射路线啊！这使我一下子想到了问题1，问题1的解决不正是光的反射路线图吗？只不过问题1中，速度一样，相当于光在同一种介质中传播，而问题6由于速度不一样，则相当于光在不同介质中传播，相同点是，光的路线就是时间最短的路.

不过遗憾的是，限于本人水平有限，还没能将问题彻底解决，还希望读到本文的您多多指教，不胜感激！