高中数学填空题解题中多种思维技巧的运用探讨
2018-01-02黎师杰
黎师杰
【摘要】在高中各种考试中，数学填空题其实是非常简单的，虽然没有像选择题那样的选项，但是有着独特的解题方法.方法要因人而异，有的方法简单，有的方法比较复杂，所以要选择正确的方法解题.本文从不同角度探析高中数学填空题的解题奥秘，不但可以降低题目的难度，还可以更快速，更准确地获取答案，使做填空题越来越有趣，不再枯燥乏味.
【关键词】高中数学；填空题；解题；思维技巧
在高中数学试卷中主要有三种题型：选择题、填空题、解答题.而填空题虽然所占分值不大，但是它涵盖知识点较为全面，且题型构思较为精巧，能全面的考查学生们的基础知识和基本技能.填空题是所有考试中的重点题型之一，虽然大多数学生认为该题型难度系数比较大，但是因其不求过程，只求结果，又是学生们喜欢的一点.学生们可以开阔思维，尽情想象.要想迅速准确的解答填空题，除了需要有严密推理能力外，还需要有解答填空题的技巧和方法.下面通过几种方法来举例说明：
一、直接推算法
数学中的填空题就是通过仔细分析所给出的信息，通过仔细认真的探索其中隐藏的信息，从而进行解答.这种方法就是直接推算法，根据题目已知信息，直接通过定义、性质、公式、定理等对文字信息进行解译，再经过简单的推理、运算或是变形，最终得出正确结果.这种方法是最为简单，也是最为直接的.但是，这种方法的局限性很大，往往只适用于题意明确，综合知识间关系简单且直接的题型.值得一提的是，这种方法若是结合方程思想、不等式思想等解题策略，则会出现意想不到的效果.
例1已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a22-4，则an=.
解析设等差数列公差为d，则由a3=a22-4，
得1+2d=（1+d）2-4，
∴d2=4，∴d=±2.
由于该数列为递增数列，∴d=2.
∴an=1+（n-1）×2=2n-1.
探究提高这道有关等差数列的填空题运用了直接推算法，直接利用等差数列的性质、通项公式，算出公差等一系列参数，是一种典型的直接法.此题可以很快看出使用直接法，是比较简单的，对于一些难一点的题型要透过题目看本质，利用直接法得出正确的结果.总之，这类题都是比较简单的，容易求解.
二、特殊转化法
数学填空题中的特殊转化法使用起来是特别方便的，这种方法将特殊情况转化为一般，做题速度得到很大提升.特殊转化法主要用于一些数形结合、可以进行图形模拟、展示的习题.学习函数知识时、学习立体几何知识、学习三角函数时，特殊转化法十分有效.
例2求函数f（x）=2-4asinx-cos2x的最大值和最小值.
解析y=f（x）=2-4asinx-（1-2sin2x）=2sin2x-4asinx+1=2（sinx-a）2+1-2a2设sinx=t，则-1≤t≤1，并且y=g（t）=2（t-a）2+1-2a2.
当a<-1时如图所示.
有y最大=g（1）=3-4a，y最小=g（-1）=3+4a.
当-1≤a≤1时，y最大为g（-1）和g（1）中的较大者，即y最大=3-4a（-1≤a≤0）或者y最大=3+4a（0≤a≤1），y最小=1-2a2.
当a>1时，则有y最大=g（-1）=3+4a，
y最小=g（1）=3-4a.
探究提高例题中通过换元将三角函数转化为比较熟悉的二次函数问题，并且利用二次函数图像结合进行分类讨论，使问题得到解决.特殊转化法是我们常用的方法之一，特别简便，做起题来很简单，而且不容易做错.填空题假设条件中虽含有某些不确定量，若填空题结果是一定数值或结论时，则可以考虑采用特殊化技巧.解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值进行处理，进而很快得到相应的结果，非常方便.
三、构造法
构造法是一种非常奇特的方法，有时候简单，有时候复杂，要根据不同类型题选择不同方法.这种方法需要利用已知条件和结论构造出新的数学模型，构造法利用已知条件构造一些可以解答题目的方法，使解题过程更加简便.
例3在等差数列{an}中，a3+a5=6，a2a6=5，求an？
解析在等差数列中，a3+a5=6可以推出a2+a6=6.
构建方程x2-6x+5=0，那么a2，a6是其中的两个根，
所以a2=1，a6=5，或者a6=5，a2=1.
当a2=1，a6=5时，a1=0，d=1，那么an=n-1；
当a6=5，a2=1时，a1=6，d=-1，那么an=7-n；
由此得出，an=7-n或者an=n-1.
探究提高整体思考，联系等差数列，利用特征进行求值，是整体观念与构造思维的一种应用.这类构造题需要有着很强的数学模式思维，看到题的那一刻脑中就会浮现解题思路与解题方法，进而通过各种变化得到相应结果.
四、数形结合法
数学是一门“数”与“图”结合的学科，数字与图形是相互存在的，二者缺一不可.在解决填空题的时候，学生们也可以采用数形结合，根据题目中给出的条件，在纸上画出图形，这样，抽象的问题就具体生动地展现在眼前了，学生们对解题思路以及解题方法就能够一目了然了.通常，数形结合的方法适用于不等式、函数方程等涉及图形的问题，还需要注意的是，学生们在作图的时候，要根据题目中的数字进行比例缩放，确保图形与问题的意思符合，不要乱涂乱画，使得问题更加抽象或者将题意理解错误.高中数学填空題只需要给出答案，不需要写出解题过程，使用数形结合，学生们可以直接在图形上看出答案，完全不需要再进行复杂的计算，即使需要计算，也会变得很简单.尤其是在考试过程中，使用数形结合的方法，既能节约时间，也能提高分数，比起埋头苦算，何乐而不为呢？这类题在高中普遍出现，而且解题方法多样.endprint
例4设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，在区间[a，b]（a
解析f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，
∴y=f（x）·g（x）在区间[a，b]（a 又∵f（x），g（x）分別是定义在R上的奇函数和偶函数， ∴y=f（x）·g（x）是奇函数. 因此，它的图像关于原点对称，并且画出下列示意图，得出函数y=f（x）·g（x）在区间[-b，-a]上是增函数并且有最大值5. 探究提高这是利用数形结合解决抽象函数问题的题，是一道很简单的题，但是如果不认真就会得到错误的结果，所以在看图过程中一定要注意这一点. 五、类比法 类比法就是通过由两类对象具有某些类似的特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的一种方法. 例5在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆半径为r=2SC，类似地，在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，可得三棱锥的内切球的半径r′为. 解析题中三角形内切圆的半径可通过连接圆心和顶点，把大三角形分割成三个小三角形，然后利用等面积法计算得到，类比得出计算三棱锥内切球的半径可通过分割三棱锥的体积.设三棱锥四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则V=13S1r′+13S2r′+13S3r′+13S4r′=13Sr′，所以r′=3VS. 六、归纳法 归纳法就是由个别事实总结出一般的结论. 例6过点P（1，0）作曲线C：y=ex的切线，切点为T1，设T1在x轴上的投影是点H1，过点H1，再作曲线C的切线，切点为T2，设T2在x轴上的投影是点H2，…，依次下去，得到第n+1（n∈N）个切点Tn+1，则点Tn+1的坐标为. 解析根据题意，设切点T1为（x1，ex1），则过点T1的切线斜率为ex1，又过点P，T1的切线斜率为ex1x1+1，则ex1x1+1=ex1，得到x1=0，所以T1（0，1）.又H1是T1在x轴上的投影，则H1（0，0）.同理可得T2（1，e），T3（2，e2），以此我们可以归纳出点Tn+1的坐标为（n，en）. 以上，笔者对数学学习过程中的学习方法进行了具体探究，通过对数学课堂学习到的理论知识，根据知识不同情境、不同难度、数形结合状况、思考的逻辑思路，具体问题具体分析，得出如下结论：对于一些学习思路、思维扩展较简单的、理论知识容易理解的数学题，可以直接套用公式，采用直接法，将理论与公式结合，通过对数据的计算，得出正确结果；这类习题对学生们数学学习能力的考查较为简单，是学习生活中最常用的，也是最普遍的学习方法.接下来的特殊转化法，通常将数学理论知识用图形、数字排列表示出来，这类习题最常出现在函数知识、立体几何知识、三角函数等知识时，通过图形展示，让知识更为立体、习题理解更透彻、更直观，为学生们提供明确的解题思路，学生们循着解题思路，解决问题.同时，这类学习方法适用于逻辑性较差但是对于图像较敏感的学生.构造法，简而言之就是把复杂的习题用简单的、直白的语言表示.化繁为简、化难为易是构造法最常用的学习方法，精炼复杂的公式，利用数学化简、通分、数据计算等工具，简化冗长、复杂、字数多，但是数据简单的、易于理解的长数据公式，将难题构造为简单题，将短公式延长为长公式，这是构造法最明显的特色. 填空题是高中数学试卷的必考题，掌握多种解题技巧并且灵活的运用，不但可以降低题目的难度，还可以更快速，更准确地获取答案.学生们在学习过程中，要不断地通过教师的讲解，打好知识基础，不断的运用多种思维技巧来解题，从而提高自己的学习成绩. 【参考文献】 [1]唐榕.填空题的解题策略[J].高中数学，2013（12）：6. [2]赵敏.浅谈发展数学思维的学习方法—数学教学之后的深层思考[J].语数外学习，2013（08）：130-135.
