定点定线运动放缩的轨迹问题及推广

张子晨

【摘要】几何学，自古一直是数学中的一个重要分支.而在古代柏拉图学院门前更是立有“不懂几何学不得入内”的牌子.轨迹问题，归属于几何中，在平面几何，立体几何，解析几何中均有涉及.关于轨迹，可以说是点的轨迹，具有某种性质的点的集合，叫作具有这种性质的点的轨迹[1].本文通过从简单的初中题目入手，将之用纯几何的方法推广，猜想并用几何画板软件进行试验最终进行证明在平面内几何图形运动放缩的轨迹问题.

【关键词】几何学；轨迹；纯几何方法；定点定线；运动放缩；推广；猜想；几何画板；证明

几何中的轨迹问题，将静与动相结合，通过点与线的运动，放缩凸显出数学之美.自古以来，对轨迹的研究就没有停止，体系也日趋完善.轨迹的定义：满足某种条件C的一切点所构成的图形F称为符合条件C的点的轨迹.而要证明一个轨迹，即为判定一个图形F是符合条件C的点的轨迹，必须从两个方面去证明：通过证明符合条件C的所有点都在图形F上来说明完备性以及通过证明图形F上的点都符合条件C来说明纯粹性.[2，3]对于轨迹的研究，解析几何中设计最多，通过用坐标系的方法，确实便于想出，较为快速地达到最终的证明目的.但本文想通过最基本的纯几何方法，巧妙地将问题由繁化简.在研究轨迹的过程中，不少文章以及书籍研究的是运动轨迹，即在线或圆上运动而产生的变化.本文另辟蹊径，设想将点、线、圆甚至复杂图形的运动与图形的放缩结合起来，使所有的图形都在有规律地运动着.而本文，就是动中取静，将看似毫无关联的运动放缩结合起来，巧妙的寻找其中的轨迹问题.

大部分学生都做过这样一道题：如图1所示，矩形ABCD中，BC=8，Q在线段BC上移动，以AQ为一边作等边三角形AQP，求在Q移动过程中，△AQP形状保持不变，P的运动长（軌迹长）.

由此再回看原题，便简单了许多，由于三角形为等边三角形，顶角的夹边比恰为1，代入公式3，直接可得P的轨迹长等于线段BC，即为8.当然，在原题中，我们只需要做出特殊位置的等边三角形，在任取一点作三角形，即可说明.

刚刚探究的可总结为，三角形中，直线外一定点，直线上一动点，在运动过程中另一点的轨迹问题.而观察PAB会发现在运动过程中也是进行放缩变换的，但是其轨迹确实一定的.

再看另一道比较经典的题目：如图4所示，⊙O外一点P，A在⊙O上，取AP中点M，求A在⊙O运动时M的运动轨迹.

对于这道题目，最好想也是用得最多的解法是运用解析法，通过对M满足的方程分析，发现是圆的方程，即可证明M的轨迹为圆.但是解析法是有局限性的，除了过程及计算烦琐而失去了几何本身的美之外，若是进行推广，M不是中点，或者AMP不为直线，那么运用解析法无疑会增添更多的计算量.而我们运用纯几何方法，使问题迎刃而解.

先看这道题：已知，A在⊙O上运动，P为⊙O外一点，AM=MP，求M轨迹.

此时对于轨迹与轨迹之间夹角，形状的研究已经比较完善了.至此，不管如何变化，定点定线三角形运动，运动过程中会有放缩的问题基本可以用相似的解决方法来解决，除了轨迹本身的确定及形状意外，发现轨迹与轨迹之间也是有关系的，包括与边的夹角，轨迹与轨迹的夹角等.

结 论

本文通过运用纯几何方法，简单而巧妙地猜想并证明了任意图形按照上述方式放置，在任意图形l上均有对应轨迹g，图形l与图形g相似.若定长，则l与g有比例关系，且此比例与其原图形有关.若有多个g图形（相似）可任意方式排列（相对、同向等）则均满足平行或夹角为定值.随着轨迹学研究的深入，已经很少有像本文一样运用纯几何方法，来解决复杂问题.相比较于解析方法，无疑在推广以及证明过程中都起到了至关重要的作用.

【参考文献】

[1]杨榮祥.略谈中学平面几何轨迹问题[J].数学教学，1955（1）：23-27.

[2]萧振纲.几何变换与几何证题[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.

[3]沈文选，杨清桃.几何瑰宝[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.