裂项相消法求数列的前n项和

崔禹

数列是高中数学一个非常重要的内容，数列求和是数列题目中的常见题型，公式法、错位相减法、裂项相消法等是数列求和的通用解法，其中裂项相消法是数列求和中的非常重要的方法.裂项相消法主要是把数列中的每一项分裂为两项或多项的形式，在后续的运算中相互抵消，从而实现数列求和.很多裂项相消的题目，数列通项会以分式的形式给出.在解题的过程中，需要根据具体的题目类型进行裂项，注意系数与计算最终的剩余项.

一、分子、分母都是常数或者普通等差数列的分式类型

这类问题最基本的裂项相消法求数列和，最简单、最易理解，也是高中数学中最常出现的.

通过例3的解决，我们注意到裂项求和过程中，未必是相邻两项的前后分拆项相互抵消，有可能是隔项相互抵消，一定注意到最后剩余的项，一般而言，前面剩余几项，后面就会剩余几项.

综上所述，在分式数列裂项相消求和过程中，一是注意分解项时要乘系数，二是最后求和过程中一定注意剩余的项.

二、分子、分母为根式形式，可用分母有理化形式进行裂项

裂项相消未必只解决非常简单的多项式分式裂项，对于一部分根式形式的数列分式也可以使用.

例4 已知数列{an}的通项公式为an=1n+n+1，求数列{an}的前n项和.

分析 本题目分母是两个根式，而这两个根式实际上是数列n的连续两项，所以可以用分母有理化的形式把an拆开裂项，从而实现抵消后求和.

本题目是观察分子和分母之间的关联，主要在于分拆分母，构造分子，得到系数.

在裂项求和的过程中，注意裂项的合理化，如果裂項不合理，会增加很多计算量甚至出错.

【参考文献】

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