一题多思走出题海

王进

课程改革已进行了十多年，现阶段的数学教学都能重视知识的形成过程，关注数学知识的思想和方法，但由于教学评价的指挥棒仍然是分数至上，很多数学教学还是陷入题海战，很多复习课成了习题课，学生成为刷题机器，如何以有限的习题分析达到“以点代面”的效果，让教师跳进题海，让学生能上岸？笔者通过几道典型的习题的分析，尝试“低起点、多角度、多层次”分析题例，将数学问题、数学习题效果最大化，从而达到“事半功倍”的效果.

一、同一题目多个策略

例1 把一个两位数A的十位数字和个位数字交换得到一个新数B，计算A+B.对所有的两位数A，A+B有什么规律？请解答.

解题的策略 （1）不完全归纳法（合情推理）：通过举例.例如，12与21，37与73，44与44等，至少三个，通过观察并猜想.

（2）完全归纳法：枚举法、穷举法.由于符合以上情况的数据不算特别多，可以将所有符合以上的情况一一枚举出来.

（3）代数推理论证方法：设A=10a+b，B=10b+a，A+B=（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.

点评 本题原型来自北师大初中数学教材课后习题，是一道代数推理题，但解题的方法不唯一，针对不同阶段、不同基础的学生可以有不同的处理方式.

（1）方法对比：

不完全归纳法：本种方法对学生的知识能力要求较低.以一定数量的事实做基础，进行分析研究，找出规律.通过观察、猜想，培养学生发现规律、总结规律的能力.但由于不完全归纳法是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论.这样得出的结论不具有一般性，甚至有时可能不正确.所以，该方法适合学生学习新知识时使用.

完全归纳法：对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此，枚举法是通过牺牲时间来换取答案的全面性.

代数推理论证方法：本种方法对学生要求高一些，主要通过数据处理和逻辑推理来使问题获解或获证.

（2）对比的价值：通过以上方法的分析和对比，能让教师对知识的体系、结构有更深层的理解，让学生也能感受知识的发生、发展过程，培养学生的数学符号感，进而感受到用“字母表示数”的重要性和必要性.

二、同一条件多个层次

【提出问题】正多边形与圆有什么关系？

例2 正多边形与圆的关系之一是教材里的正多边形内接于圆.现已知正三角形（图1）、正十二边形（图2）均内接于半径为r的圆.

【层次一】（1）求出圆内接正三角形的边长、边心距和中心角的大小；

【层次二】（2）当边数一倍又一倍地增加时，正多边形的周长与圆周长逐步接近，请用正十二边形的边长代替外接圆周长，计算圆周率的近似值（近似到小数点后两位）；

【层次三】（3）正多边形与圆的关系之二是如图3所示的圆内切于正多边形，根据图3，提出一个一般性问题并得出一个结论，证明你的结论正确与否.

参考答案 （1）边长为3r，边心距为12r，中心角为120°.

（2）不妨设圆的半径为1，则正十二边形一边为122+1-322=2-3=6-22，

從而π≈3（6-2）≈3.11.

（3）可以考虑几个元素（从数值方面考虑：内切圆半径、内切圆面积、内切圆面积与正多边形面积关系等；也可以考虑图形性质方面：内切圆的存在性、内接圆与外接圆圆心重合且都是正多边形的中心等）.

点评 该题也是以教材习题为原型，进而拓展和延伸，最后让学生提出一个数学问题并解决.是一道综合性强，考查学生发现问题、研究问题的能力的题.

（1）第一问（第一层次）是在理解边心距、中心角等数学基本概念的前提下进行简单的运算，知识难度属于较易题.

（2）第二问（第二层次）是在理解基本概念的基础上，研究圆与内接正十二边形的关系，本问也提供了一种研究圆与其内接正多边形关系的方式（从定性到定量）：以内接正多边形周长代替圆周长，观察计算π与实际值的关系，从而发现正多边形边数较多时其周长接近于对应圆.

（3）第三问（第三层次）是在前面研究问题的前提下，提出一个一般性的问题，并参考前面的解决方式来分析问题.本问提出数学问题—形成解题思路—得到数学结论，是一个较高要求的问题.

三、同一问题多个素材

【提出问题】“圆”和“抛物线”作为初中阶段研究的两种弧线，“圆弧（劣弧）是特殊的抛物线吗？”

【研究策略】研究思路可以用同一个实际背景，同样的数据，以两种不同的曲线来计算同一实物长度，对比结果差异.

素材一 （广东佛山2005年中考试题）一座拱形桥，桥下的水面宽度AB是20米，拱高CD是4米.若水面上升3米至EF，则水面宽度EF为多少？

点评 （1）从数学研究问题的方式来研究：数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.

（2）圆与抛物线作为初中阶段的两种重要的曲线.以上提供了两个素材让学生学会辨析，抛物线是二次函数图像，所以结合二次函数图像相关知识解决.圆弧是圆的一部分，所以应该依据圆的相关知识：垂径定理、勾股定理等.

数学每个阶段的知识点是有限的，学生每个阶段的学习时间也是有限的，但是数学习题的数量却是无限的，不能让每个阶段的数学复习课变成习题课，让学生变成刷题机器，应该学会“精选题、多归纳、勤思考”，让数学复习变得高效而轻松.