用变式教学激活小学生的数学思维

吕芳妮

【摘要】数学是思维的“体操”.数学变式教学是对小学生数学思维训练的一种重要方式，它能有效地培养和训练小学生数学思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性、创造性和逻辑性.

【关键词】变式教学；小学生；数学思维

变式是指交替使用同类事物的各种不同形式，即从不同的角度来举例说明事物的本质特征.变式教学是数学教学的一种重要方法，可以作为巩固数学基础知识、形成数学能力的最直接的强化训练.通过数学变式教学，可以提高小学生的观察能力、概括能力以及解题的应变能力等多种基本数学能力，同时也能培养和训练小学生的数学思维能力.

一、数学变式教学的理论基础

数学变式教学，是很多教师喜爱和关注的一种教学方法，是建立在深厚的理论基础之上的，归纳起来主要有以下三个方面.

（一）认识论基础

辩证唯物主义认为：认识是主体对客体的能动反映，即主体以一定的思维方式或者方法整理感性材料，对来自客体的信息进行“重组”和“建构”，形成理性材料，从而表达客体的过程.对一个概念定理等要达到深刻的理解和认识，意味着对它们的各个侧面进行充分认识，也就是要不断地变更所提供材料或呈现问题的方式，使事物的非本质特征时隐时现，而事物的本质特征却保持不变.因此，为了让学生深刻而全面地理解与掌握数学概念、公式、定理等，教师有必要采取数学变式教学的方法.

（二）教育心理学基础

皮亚杰认为，同化是指主体将其所遇到的外界信息直接纳入自己现有的认知结构中的过程.在数学学习中，影响同化过程的一个重要因素是新知与原有认知结构中相应概念之间的“潜在距离”，而数学变式教学能够起到缩短“潜在距离”、衔接新旧知识的桥梁作用.顺应这一过程是通过主体根据外界信息主动修正自身的认知结构而实现的，这就要调动学习者的积极性.数学变式教学能改变数学单调乏味的呈现方式，使数学知识以一种新颖的方式呈现在学生面前，让学生耳目一新，兴趣盎然，为同化过程的顺利进行创设了有利条件.

从心理学上来说，变换问题的条件意味着给学生的思维活动提供不同的背景和前提.问题条件的变化会促使学生分析出问题最本质的部分，也就是不变的部分，并对问题进行概括和分类，这样就要使学生完成从一道习题向另外一道在本质上相类似的习题的迁移.从外表上来看，这是一种“变换—迁移”的依存关系；但是从深层上来看，则是从心理学上揭示出内部的“分析—概括”的依存关系，而后者是学生进行变式的内部心理机制.

（三）数学知识本身的要求

数学知识的高度的抽象性和应用的具体性之间的矛盾往往需要用变式来解决.在教学过程中，如果将概念、公式等还原到客观事实之中，在丰富多样的实际例子和模型中选择含有新概念、新思想萌芽或者雏形的生活实际现象，适时地引入课堂，使实际情境数学化，从而帮助学生循序渐进地完成认知过程.

重要的或者基本的数学思想方法的理解与掌握，需要通过足够的变式训练教学才能实现.在现在的教材安排中，数学知识是一条明线，而相应的数学思想方法是蕴含在数学知识中的一条暗线，就像溶解在水里的盐一样不容易被发现，这就需要教师的细心引导.教师只有通过精心设计各种符合学生认知规律、符合实际需要的变式，从不同的角度促进学生理解和掌握数学知识，才能真正地把深奥的数学思想方法内化到学生的认知结构中去.

数学思维是人脑和数学对象交互作用并且按照一般的思维规律认识数学规律的过程.它的表现是学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动，立体式地展示问题、提出过程，在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲望，尽可能地参与概念的形成和结论的发展过程，并掌握观察、实验、归纳、演绎、类比、联想、一般化与特殊化等思考问题的方法.教师只有通过精心设计各种变式，从各个角度促进学生的理解与掌握，才能培养和训练学生的数学思维.

二、用变式教学激活小学生的数学思维

（一）通过变式教学，沟通数学知识间的内在联系，培养和训练小学生数学思维的深刻性

引导学生对问题进行抽象分析，把具体问题上升为一般的数学问题，启发学生透过现象看本质，长期坚持，学生数学思维的深刻性会得到锻炼.

例如，一个正方形的边长扩大3倍，它的周長扩大（ ）倍.

变式1：一个正方形的边长扩大3倍，它的周长扩大（ ）倍，它的面积扩大（ ）倍.

变式2：一个正方形的边长扩大a倍，它的周长扩大（ ）倍，它的面积扩大（ ）倍.

变式3：一个圆的半径长扩大a倍，它的周长扩大（ ）倍，它的面积扩大（ ）倍.

（二）通过变化一些题目的条件和结论，充分发挥知识结构间的联系和转化功能，培养和训练学生数学思维的敏捷性

例如，原计划30天生产360台机器，实际20天完成，实际每天比原计划多生产多少台？

变式1：生产360台机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台，实际可提前多少天？

变式2：原计划30天生产360台机器，实际每天多生产6台，实际多少天完成？

变式3：生产360台机器，实际每天生产18台，结果提前10天完成，原计划每天生产多少台？

变式4：生产360台机器，实际20天完成，每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？

变式5：生产360台机器，原计划每天生产12台，实际提前10天完成，实际每天生产多少台？

变式6：生产一批机器，原计划30天完成，实际20天完成.实际每天比原计划多生产6台，这批机器有多少台？

变式7：生产一批机器，原计划每天生产12台，实际每天生产18台，结果提前10天完成，这批机器有多少台？

变式8：生产360台机器，原计划完成的时间是实际的1.5倍，实际每天比原计划多生产6台，实际多少天完成？

变式9：生产360台机器，实际每天生产的是原计划的1.5倍，实际提前6天完成，原计划每天生产多少台？

变式10：生产360台机器，实际完成的天数是原计划的23，实际每天比原计划多生产6台，原计划多少天完成？

变式11：要生产360台机器，原计划每天生产的是实际的23，实际提前10天完成，实际每天生产多少台？

（三）在数学教学中，通过变式教学启发学生多角度思考问题，鼓励学生联想，培养和训练学生思维的灵活性

一题多解题目的训练目的，不是单纯地解题，而是为了培养和训练学生的思维、发展学生的智力，提高学生的解题能力.对于学生“别出心裁”“独辟蹊径”的解法，我们要鼓励和表扬.

例如，“已知甲船每小时航行80千米，乙船每小时航行60千米.现在两船从相距200千米的A，B两地同时出发，经过2小时航行，两船相距多少千米？”在解这道应用题时，由于思维僵化，大多数学生只给出了一种情况的解法，得到了唯一的答案，实际上这道题有四种实际情况，与之相应的有四种解法，四种答案.

（1）两船同时相对而行，相遇后又拉开距离：（80+60）×2-200=80（千米）.

（2）两船同时相背而行：（80+60）×2+200=480（千米）.

（3）两船同向而行，甲船在前面，乙船在后面：80×2+200-60×2=240（千米）.

（4）两船同向而行，乙船在前面，甲船在后面：60×2+200-80×2=160（千米）.

这种多角度思考问题的训练，可以帮助学生有力地克服思维僵化的现象，从而使数学知识的学习、数学能力的形成更加灵活而又高效.

（四）通过变式教学，培养和训练学生思维的批判性

如，对于判断改错题，通过设计变式训练，可以培养学生缜密分析和判断问题，以批判的眼光对待已有的结论的思维.

例如，将一块蛋糕分给4名小朋友，每人得到这块蛋糕的14.（ ）

变式1：将一块蛋糕分给4名小朋友，每人得到14块蛋糕.（ ）

变式2：将一块蛋糕等分给4名小朋友，每人得到14块蛋.（ ）

（五）也可以将有用条件、无用条件混在一起，引导学生认真分析条件与问题，学会排除干扰，提高学生明辨是非、去伪存真的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性

例如，学校有篮球72个、足球34个、排球12个，三种球共有多少个？

变式1：学校有篮球72个、足球34个、排球12个，篮球和排球共有多少个？

变式2：学校有篮球72个、足球34个、排球12个，篮球是排球的几倍？

变式3：学校有篮球72个，是排球的3倍，足球34个，篮球和足球共有多少个？

（六）利用变式教学，培养和训练学生思维的创造性

通过变式教学，使得教学内容的本质不变，研究问题的方法不变，把封闭性问题转化成了开放性问题，让学生探索、发现和总结，从而培养学生探索问题、总结规律的能力，即培养了学生思维的创造性.比如，面积单位换算的教学，出示1平方米的示意图（边长1米的正方形），问学生：“1平方米等于多少平方分米呢？”引导学生思考推理，并说出自己的推理过程.又如，学习速度、时间、路程的关系后，让学生自编三道分别求速度、时间、路程的题目.

（七）利用题目的内联变式，培养和训练学生思维的逻辑性

在数学教学中，不但要把数学知识点教好，还要从整体着眼，抓住新旧知识的连接点，对前后有逻辑关系的题目进行对比、分析，然后才用一定的变式训练，培养、发展学生思维的逻辑性.

例如，分数的学习中，（1）一根绳长8米，裁去12米，还剩多少米？（2）一根绳长8米，裁去12，还剩多少米？学生一看这两个问题，觉得一样.但是我们引导他们认真分析发现：前面的12带有单位，是具体的长度，而后面的12没带单位，是比例问题.一字之差，差之千里，通过比较，发展了学生的逻辑思维.还可以改变这两道题的条件和结果进行变式训练.

数学变式教学是对小学生数学思维训练的一种重要方式，它能有效地培养和训练小学生数学思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性、创造性和逻辑性.但是，数学变式教学不是为“变式”而变式，而是要根据学生学习或者教师教学的实际需要，遵循学生的认知规律，精心设计差异性、层次性、开阔性和灵活性的变式教学，让学生在理解的基础上，把数学知识转化为数学能力，从而激发学生的数学思维.

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