高数微积分思想的实践运用分析

张哲龙

【摘要】微积分是高等数学的重要组成部分，是高等数学的精髓和灵魂.随着科学技术的不断进步，高数微积分思想在生活中的运用不断得到普及，为各个领域和学科的问题的解决提供了便利.

【关键词】高数；微积分思想；实践运用

一、高数微积分思想的基本理念简介

微积分是高等数学的重要分支，是建立在实数、函数以及极限等数学板块的基础之上的，它是以研究函数变化规律为目的的一门基础学科，主要运用到的数学工具就是微分和积分.

（一）微分的基本思想

微分是对函数的局部变化率的一种线性描述.微分学的基本思想是“无限细分”和“等效替代”.其几何意义可以这样来表述：设函数y=f（x），假设函数上有一点A，当点A在沿着横坐标移动Δx时，其在纵坐标上的变化范围为Δy.特别的是，当A的移动范围足够小时，A点的纵坐标的变化值Δy与该点的切线的变化距离dy之间的差值|Δy-dy|比|Δy|要小得多，于是便可以将A点附近的一个切线段用来近似替代原函数.运用微分近似替代的思想可以使复杂的问题简单化，提高解决问题的效率.

（二）积分的基本思想

积分是在确定函数的导函数基础上通过一定的数学方法对原函数进行求解的过程.微分是对函数的求导过程，于是又可以将积分看成是微分的一个逆向过程.积分还可以分为两部分.第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F（x）的导数是f（x），那么F（x）+C（C是常数）的导数也是f（x），也就是说，把f（x）积分，不一定能得到F（x），因为F（x）+C的导数也是f（x），C是任意的常数，所以f（x）积分的结果有无数个，是不确定的，一律用F（x）+C代替，这就称为不定积分.而相对于不定积分，还有定积分，它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数.同时对于多元函数而言，还会有二重积分、三重积分等，其解决问题的基本思想都是通过积分的“无限求和”来进行的.

二、高数微积分思想解决实践问题的重要性

（一）提高问题解决的效率

作为高等数学的重要组成部分，微积分的思想方法可以很好地运用到经济、管理活动中去，提高其在数据运算上的效率，减少因为依靠人工计算带来的时间和资源的浪费，提高资源的利用效率和数据运算的准确性.

（二）提高决策的科学性

将微积分思想运用于人们的生活实践中，可以促使人们在其严谨的数学思维和规范的数学体系中做出科学和准确的判断和决策.例如，对于企业的管理人员来说，正确的决策对于企业的发展有着很好的促进作用，而一旦由于个人主观或者经验所产生的错误决策，将会给企业带来严重的经营问题，阻碍企业的发展.所以企业管理者在进行决策时要借助微积分这一数学工具，得出科学的决策结论.

三、高数微积分思想在实践中的具体运用案例

（一）在经济领域中的运用

在经济活动中，高数微积分的运用较为普遍，主要用于解决边际需求、边际收益、边际成本和边际利润、弹性分析等问题.企业管理者经常会运用微积分思想来解决企业生产成本最低、利润最大化的问题，从而促进企业收益的提高.以下将用一个具体的例子进行阐述.

某企业的产品的边际成本函数为f（x）=100+2x，其中x表示企业生产产品的数量，其生产的固定成本为f（x0）为1 000元，该公司产品的售价为500元，那么，假设企业想要获得最大的收益，该怎么进行生产安排？

可以运用微积分的思想进行解题：企业的成本函数为f（x）=∫x0（100+2x）+1 000+dt，总收益函数为R（x）=500x，接下来便可以利用微分思想确定利润最大化时企业的生产产量，企业的利润函数L（x）=R（x）-f（x）=-x2+400x-1 000，令L′（x）=0，由此便可以得出企业的利润最大化下的产量为200件，与之对应的最大利润为3 900元.

（二）在物理教学中的运用

微积分在一定程度上是产生于物理，微积分诞生的标志就是牛顿提出的“流数术”，因此，微积分与生俱来就被用于解决许多物理问题.微积分思想中的“无限逼近”等对于解决物理教学中所涉及的瞬时速度、加速度以及位移公式的推导具有重要作用.微积分运用在物理解题中也主要有两种方法：一是取消元，即将陌生和较为困难的物理过程划分成若干个趋于无限小的微元，从而将每个元过程划分成为熟悉和易于理解的过程；二是在物理解題中一般采取将若干个元过程进行累加的求和方式，提高解题的效率.

（三）在其他学科中的运用

微积分的思想在其他学科中也有比较广泛的运用.最明显的就是在几何教学中的运用，在求曲线的斜率和函数增量的近似值中都可以很好的利用微积分的思想来解题；其次，在医学实验中，利用高数微积分思想可以很好地计算一定时间内细菌等的繁殖数量，提高医学实验的准确性；微积分思想同样可以运用到航空航天技术中，微分的求导和积分求原函数都可以对航天设备的运行速度等进行很好的监测和控制，促进航天技术的发展.

四、结束语

在现代化生活中，数学思维已经渗透在了人类生活的各个角落，微积分思想被广泛应用于物理、化学、工程学、经济学、天文学、力学、医学、生活学、计算机等领域.随着信息技术的快速发展，借助计算机将进一步提高微积分思想在各学科及实际生活当中的应用，这些实践应用是科技发展、社会进步的重要表现.

【参考文献】

[1]王娇.浅谈高数微积分思想及其在实践中的应用[J].科技视界，2015（14）：167.endprint