高中阶段数学建模思想管窥

董红超

[摘 要] 数学建模思想是新课程理念中发展学生应用能力的重要体现，综合现阶段的研究成果我们可以从数学建模的定位、定义、过程、功能和现状五个方面来考察高中阶段的数学建模；透过对各个教材的扫描可以发现高中课标对数学建模的具体内容要求；根据高中阶段数学建模的难易程度可以将建模教学分为三个阶段来进行.

[关键词] 数学建模；基本认知；内容要求；教学融入

高中数学课程标准中明确提出要提高学生数学应用能力，发展学生数学建模思想. 随着课程理念的深入，數学建模在高中教学中的重要性逐步被人们关注. 一个典型的标志在各省的高考和调研卷中，数学建模的问题总是作为倒数第三道问题出现，并且越来越现实化，有逐步摆脱应用题的趋势. 本文尝试从现阶段对高中数学建模的认知、内容要求和教学融入三个层面来管窥高中阶段数学建模思想.

[?] 高中阶段对数学建模的基本认知

基于对现阶段高中数学建模专题研究的成果，本文尝试从定位、定义、过程、功能、现状等五个方面来阐释我国高中阶段对数学数学建模思想的基本认知.

首先，从定位角度看我国对高中阶段的数学建模普遍持一种应用性取向. 目前国际上对高中阶段数学建模思想的定位有本身取向——数学建模是数学学习本身的内容；应用性取向——数学建模是提高实际问题解决能力的重要工具；动力性取向——数学建模能够提升学生数学学习的动力. 这几种取向各有支持，但从我国课程标准的描写来看，我国对高中数学建模定位应当是应用性取向，因为在高中数学课程标准的课程理念栏目下第五条明确指出要发展学生的应用意识，同时提出高中数学课程要开展数学建模的学习，在学习的过程中教材要能为基本的知识提供相应的现实背景，同时建模学习要能够反映现实价值.

其次，从定义角度看持不同定位的专家对数学建模的定义并不相同. 但我国所持的应用取向的建模定位决定了我国对数学建模的定义必定带有应用的味道. 我们认为“数学建模思想就是用数学的知识来处理实际问题的一种方法，它通过对实际问题的观察与分析，抽象出实际问题的内在联系，并把这些内在联系转化成相应的数学关系，利用数学关系建构与实际问题相符的数学符号系统，从而使原有问题转变成数学问题的一种数学方法与思想.”

第三，从过程的角度来看数学建模大致需要经历问题情境—现实模型—数学模型—数学结果—问题情境这样一个循环过程. 也就是说数学建模是从实际出发将其理想化成现实的模型，经过数学化的改造形成数学模型，再通过数学的思考过程得出一定的数学结果，并将结果带回实际中进行验证和阐释现实问题的过程.

第四，从功能的角度来考察数学建模，可以发现数学建构对于修正传统教学、拓展学生的思维力和发展学生实践能力有着重要的价值. 首先传统数学教学关注的是学生的数理逻辑和演算能力，这种教学往往脱离实际，而数学建模用抽象思维来针对现实问题，能够发展学生的形式逻辑对单一的传统教学起到修正作用；其次，一般数学教学往往侧重于聚合思维，而对发散思维则关注不够，数学建模因其情境模糊性并没有现成的解决方向，因而更能关注到学生的发散思维能力；第三，现实的数学教学中遇到的问题往往是高度数学化的问题，这样的问题具有高度的数理性，它就像悬在空中的楼阁一样不接地气，对学生的实践能力发展没有太大裨益，而数学建模则起源于现实又归复于现实，需要学生从实践中来到实践中去有助于发展学生实践能力.

第五，从现状的角度看我国高中阶段数学建模可用既值得欣喜又令人担忧来形容. 欣喜的是自新课程改革以来，由于新的教学理念在教师中不断扎根，数学建模的思想在高中阶段受到越来越多的关注，逐步走进了我们日常教学中. 但关于建模教学的现状又是令人担忧的. 这其中存在两类突出的问题：其一，不少教师将数学建模的教学等同于传统的应用题教学，严重地窄化了数学建模的内涵；其二，数学建模因其生成的特性使得耗时较长，而当今的高中教学又处在一个十分注重教学进度的时代，这就造成虽然认知到其重要性但又不愿在建模上花时间的教学现状.

[?] 高中阶段中数学建模的内容要求

扫描几个不同版本的高中数学教材，可以发现与大学阶段数学建模独立成体系不同，高中阶段的数学建模思想更多的是渗透在各个知识的运用之中，这一点也恰恰与我国课标对高中数学建模思想的定位相契合. 具体说来，高中阶段渗透在各章节中的数学模型大致可归纳为函数模型、三角模型、概率模型、数列模型和不等式模型等几个重要内容. 按照教学的顺序我们可以把这些建模教学分为三个阶段：高一年级简易建模；高二年级中等建模；高三年级综合建模.

首先，在高一年级学生由于受知识范围的限制，只能进行简易的建模教学.在这一阶段仍以较高程度数学化的应用题为中介，往往是纯数学理论学习后呈现问题使学得的知识在问题中得以应用；同时这一阶段仍是以教师对模型建构的示范，学生跟随教师学习的方式为主. 此阶段中主要涉及的建模内容有函数模型，概率模型.

例：某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元. 分别写出总成本C（万元）、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式.

其次，在高二年级由于学生经历了一年的高中学习，无论知识面还是处理问题的能力都得到了一定发展，有了进行中等难度建模学习的基础. 在这一阶段建模学习的中介是经过简单数学处理后的应用题，主体由教师逐步转变为学生，以学生模仿为主，而教师的作用更主要的表现为引导和助推. 此阶段中所涉及的建模内容包含三角模型、数列模型和不等式模型.

例：一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时.（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；（2）在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m..endprint

第三，在高三阶段学生已经学完高中阶段的所有内容，知识和能力达到阶段性饱和，有了进行综合性建模的前提.这一阶段建模的情境已经变成彻底实际化的“原坯”问题，这一阶段中学生能够脱离教师进行独立的数学模型建构. 此阶段中所涉及的建模内容不再拘泥于哪一种数学模型而更倾向于各种模型的综合应用.

例：A，B是两个垃圾中转站，B在A的正东方向16 km处，AB的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面建一个垃圾发电厂P. P的选址拟满足以下两个要求：①发电厂到两中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成等系数反比，②发电厂要远离居民区. 现估测A、B两中转站每天处理的垃圾量约为30和50吨，问发电厂应如何选址.

[?] 高中阶段里数学建模的教学融入

根据数学建模在高中内容要求中的不同难度，个人认为应当对数学建模进行整体规划，具体的讲：建模的教学融入也分初级、中级和高级三个阶段来进行. 在分段进行教学融入的同时也要关注形式与方法的选择.

高一是数学建模教学的初级阶段. 这一阶段主要任务是简单介绍数学建模的相关内容，以激发学生對数学建模思想的兴趣为主. 这主要是因为高中以前的数学教学的绝对核心是数理知识的掌握，对于数学应用意识缺乏焦点的关注，同时学生知识范围也相对窄小，所以学生对数学模型基本上是毫无意识的. 因而，这一阶段的建模教学应当以教师的示范为主，在拓展学生知识范围的同时提高学生的数学应用意识，从而逐步认识数学模型，介入数学建模. 这一阶段的教学形式主要以插入式为主，即在传授知识的过程中遇到与数学模型相关的情境时，可以进行问题分析、模型分析和模型建立的讲解插入.

高二数学建模教学的中级阶段. 这一阶段主要任务是让学生经历整个建模与解模的过程，以数学建模思想的扎根为主. 这主要是因为经过一年时间教师不断地穿插引导，在潜移默化中学生已经初步认识了数学建模，同时一年学习使学生的知识面得到了一定范围的拓展，从而有了一定建模能力. 但此时学生的意识仍然停留在用一定的数学知识解决应用题的阶段，并未能认识到数学模型对于解决现实问题的作用. 为了使数学建模思想扎根学生意识中，教学中可以数学建模专题的形式，对数学建模进行讨论，引导学生经历建模与解模的全部过程. 同时根据建模难度的差异选择学生独立或小组合作的形式进行.

高三是数学建模教学的高级阶段. 这一阶段的主要任务是发展学生解决实际问题的能力，以综合性数学建模活动为主. 这主要是因为高三已经进入复习阶段，学生的知识与能力达到了阶段性的饱和状态，同时经过二阶段的锻炼建模意识已扎根学生心中，有了综合性建模的基础. 这一阶段学生已经能独立进行分析问题—归纳模型—数学模型—数学结果—验证问题这一完整的建模过程，而教师已经基本成了一名观察员. 因此这一阶段的建模教学更应倾向于课外的辅导与活动.

透过上面的分析，个人认为高中数学建模的教学融入可用教师与学生角色发展来刻画. 教师由初级阶段的主导者发展到中级阶段的引导者再到高级阶段的观察者；学生由初级阶段的学习者发展到中级阶段的参与者再到高级阶段的主体.endprint