“趣”字当头，构建生态数学课堂

陈熠林

[摘 要] 高中数学教学中，激发学生的兴趣仍然是必要之举. 从学生的认知特点出发，构建符合学生认知规律的教学过程，让学生经由生态兴趣走向生态智趣，再由生态智趣走向生态理趣，可以不断地深化对数学知识的理解，可以有效地提升数学学科的核心素养.

[关键词] 高中数学；生态兴趣；生态智趣；生态理趣；生态课堂

在高中强大的应试背景之下谈教学兴趣，尤其是对于数学学科来谈兴趣，似乎有些不合时宜，因为高中数学本身具有非常强的理性特征，其不大可能跟义务教育阶段的数学一样，还能让学生感受到直觉的兴趣刺激. 但这并不意味着高中数学教学就真的与兴趣绝缘，毕竟无论哪个年龄阶段的人的学习，都是以兴趣来支撑的，即使是大数学家的研究，也更多的是兴趣驱动的结果. 因此，高中数学教学谈“趣字当头”又是有其必要性的. 只是在笔者看来，对这个“趣”的理解要更多元一些，要让“趣”具有更多的意味. 而当笔者在教学中总结出从兴趣到智趣，从智趣到理趣的时候，笔者找到了一条通往有效数学教学的道路. 因为只要真正做到了这三趣，那学生的数学学习过程就会变得更生态——所谓生态，就是指学生在一个符合自身认知习惯的课堂上构建数学知识，这个时候的课堂就如同一个阳光、雨露、大气、土壤等所有因素俱全的自然环境，其自然能够有效地促进身在其中的树木的生长. 尽管这只是一个教育比喻——興趣、智趣、理趣，就是构成生态课堂的三个必要元素，但其中蕴含的道理却是不谬的，现借此文对“‘趣字当头，构建高中生态数学课堂”作一些思考.

[?] 生态兴趣，激活学生的数学学习直观感觉

不是所有的兴趣都是真正的兴趣，譬如课堂上教师为了活跃课堂气氛而讲一个笑话，其确实可以激活学生的学习动力，但笑话本身却常常与学科无关，因此这样的兴趣有效但却不能称之为生态兴趣. 所谓生态兴趣，是指与学科密切相关，同时又能以有趣的形态出现在学生的面前，从而在刺激学生积极参与心理的情况下帮助学生有效地构建知识.

高中数学教学中，生态兴趣是普遍存在的，只是其要借助于一定思路的教学设计来实现而已. 以“圆锥曲线的统一定义”（苏教版高中数学必修五）的教学为例，这是一个对此前学习过后的圆锥曲线基本概念、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合的过程，而本课的生态兴趣也就隐藏在这个“综合”里，因为综合既是一种基本的思维方法（其一般是与分析同时存在的），同时也是一种基本的数学方法，更是高中阶段学生所喜欢的一种方法——我们常常说高中的学生已经比较理性，往往所指的就是高中学生更喜欢通过符合一定逻辑关系的方法，来建构包括数学学科知识在内的知识. 于是笔者对此内容进行了这样的设计：先让借助于刚刚所学的抛物线的定义——平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，让学生利用发散性思维去思考：如果这个比值不等于1，那动点P的轨迹可能是什么曲线？

事实证明，这一问题确实可以激活学生的兴趣，由于这个兴趣直接指向圆锥曲线，因此其就具有了生态的意味. 在实际猜想的过程中笔者注意到学生的思考过程是这样的：在进行了一会儿的自主思考之后，他们自发地在小组内进行交流，并热火朝天地在草稿纸上画出草图. 由于有此前所学习过的抛物线作为基础，又由于此时并不需要严格的逻辑验证，因此他们更多的是借助于直觉思维进行大跨度的猜想——此时不宜让学生运用严格的逻辑思维来推理，因为这会让学生失去兴趣. 而学生此时的猜想结果则通常是具有一定的偶然性的，因为他们对比值的任意取值往往是唯一的，要么是大于1，要么是小于1，但不管是哪种情形，学生都可以在直觉的作用下大致发现图形可能是椭圆，也可能是双曲线.

这是一个重要的发现，因为用学生的话说（在学生讨论的过程中笔者深入到小组跟学生对话）：如果真的是椭圆的话，那就意味着抛物线的定义也是适用于椭圆的，那前面所学的椭圆就有了好几种定义方式了. 这样的情形在高中数学学习中并不多见，因此学生的兴趣又进一步加强了. 这个兴趣起什么作用？起让学生此时产生的兴趣向智趣发展的作用（下一点详细叙述）.

回顾这一环节的教学，可以发现学生的兴趣是在问题的激发下产生的，是在发散性思维作用下得到巩固的，是在有了新的发现之后得到加强的. 这样的过程，无疑是高中数学教学中难得的符合学生认知规律的过程，因为符合学生的认知规律，所以确认其是生态的.

[?] 生态智趣，引领学生感受数学自身的魅力

生态智趣是指在生态兴趣的基础上，通过与数学学科直接关联，以使学生在进一步的数学探究中发现数学规律的过程. 这个过程中，与学生感觉、知觉直接相关的兴趣可能会少一些，但与数学学科自身的规律发现则会多一些，其更多地体现出“智”的成分，因此笔者以之为生态智趣.

在上面的生态兴趣出现之后，学生的思维出现了一个重大的变化，他们面对着一个看起来触手可及，但却一下子无法找到有效的证明的问题：如果到定点F与到定直线l的距离之比不等于1，更精确地说如果大于1或者小于1，那么这个轨迹是不是真的是椭圆或者是抛物线？这个过程中还包括少许学生的质疑：会不会这么巧？这个质疑在笔者看来也是极有价值的，因为学生所说的“巧”实际上就是指数学规律，也就是说学生怀疑会不会真的存在这样的一个规律，而其后如果真的得到了证明的话，学生就会视之为规律，这实际上也是一个重要的思维基础.

共后的智趣基本上是在严密的逻辑推理中获得的：其一，教师可以通过数据处理软件，输入符合条件的不同的比值（此时可以告知学生以e表示），然后看软件生成的图形，那学生可以看到由于e值的不同，所生成的图形也有所不同，但基本上可以断定如果e值小于1，那生成的就是椭圆；而如果e值大于1，那得到的就是抛物线. 但这样的证明过程其实严格来讲并非是数学的，因为数学证明一定是基于已有的数学规律，并经过严格的逻辑推理得出结论的过程. 因此，教学还应该进一步深入：让学生去证明！endprint

如何证明呢？起点在哪里？终点又在哪里？这是教学中遇到的另一个困难，很多学生到了这个时候都感觉无法下手. 这个时候可以发现学优生往往会率先有所突破，正如有学生说，如果要证明其为椭圆，那最终还是要得到椭圆的标准方程的，那我们现在要证明的就是：当e值小于1时，可以从某个地方出发得到这个椭圆的标准方程. 那么，从哪里出发呢？学生自然会想到当时椭圆标准方程的得出过程，于是教师跟学生一起回顾这个过程……这个过程通常数学教学中都有比较普遍的强调，这里就不赘述了. 这里需要说明的是，这个思路的得出过程本身是充满了思维含量的，是需要一定的“智”作为支撑的，而一旦此处有了突破，那学生就会兴奋起来，因为他们发现原来在推导椭圆标准方程的时候，就已经埋下了本课经由另一条路径推导得出椭圆标准方程的方式. 这种新的发现可以拓宽学生对本知识更为深刻的认识，因而可以让学生的内心产生一种学习的兴趣，这个兴趣实际上就是超越了生态兴趣后的生态智趣.

从某种程度上讲，生态智趣实际上对应着传统数学教学中最核心的那個部分，即构建数学概念、形成数学理解、生成数学问题解决的能力，其也是与数学核心素养相关的一部分. 只是当我们从“趣”的角度强调时，可以发现数学规律发现过程轻松的一面，而这可能正是当下高中数学学习所稀缺的.

[?] 生态理趣，走向数学核心素养提升的境界

生态理趣是指向数学自身的特点的，数学发展至今，经历的事件无数，其中很多事件都彰显着数学自身的魅力，譬如今天所学之几何是以欧几里得几何作为基础的，而当从欧氏几何拓展到非欧几何，从直角坐标拓展到极坐标，每一次变化其实都是数学自身特性的彰显. 如果在高中数学教学中能够让学生感受到这种数学发展的脉搏，那就可以让学生发现数学的生态理趣. 也因此我们可以给生态理趣下一个定义：与数学学科相关，以让学生在数学学习的过程中感受数学自身的发展规律，进而发现数学美的一种内在的兴趣.

高中数学教学中追求生态理趣的有效途径，在于构建数学知识的时候渗透进一定的数学史（这个当前有不少的研究，此处不赘述）；也在于为学生编制一些原始的数学问题，这类数学问题与生活相近，从而可以拉近数学与生活的距离，而学生在解决问题的过程中需要建立数学模型，需要进行数学抽象，而当学生完成了这些过程之后，其会生成一种将生活与数学联系起来，并以数学眼光观看生活事物的意识甚至是习惯. 一旦这样的意识或能力形成，就意味着学生能够感受到生态理趣.

在笔者看来，生态理趣就是高中数学教学的一种境界，其直指数学核心素养的提升，因为数学学科核心素养的基本要义就是学科与生活的联系以及学科知识在生活中的运用！endprint