例谈高中数学开放性问题的设计思路

陈波

[摘 要] 开放性问题在学生数学能力的发展中有着重要作用，但是实际教学中开放性的问题相对较少，这需要教师深度研究教学，设计出适应学生发展需要的开放性问题. 本文认为充分利用现有习题资源，从“变结构”“变视角”“变情景”等三个方面着手，可以将封闭性问题设计为开放性问题.

[关键词] 高中数学；开放性问题；设计思路

开放性问题能有效地发展学生的能力，其作用一般体现在对问题的理解和认识层面上，即不追求统一化的分析，不设置统一化的结论，教师也不能轻易地否定学生的答案，这样的问题为学生提供了可以自由探索、放开想象的空间，学生可以在这样的情境中运用观察、分析、想象、综合、类比、归纳、演绎等手段，从多个角度来剖析问题，探求问题的解决. 然而在实际教学中，哪儿有那么多开放性的问题呢？这就需要广大数学教师积极地发掘资源，设计开放性问题.

笔者认为，现有的习题资源可以有效地利用起来，教师对其适当地调整，即可将其改编为开放性的问题. 那些封闭式的问题都是命题教师将开放性的思维过程进行了过滤处理，而我们进行改编的过程就是要对其进行分解，研究问题的内在结构，探求命题过程中所体现的数学思想，进而将其改造成开放性问题，相关操作模式如图1所示. 下面笔者结合实例谈谈具体的操作.

[?] 怎样来“变结构”

所谓“变结构”就是对原有的命题进行推广和类比，或是对命题的条件进行特殊化处理以得到新的形式，或者是将原命题改编成逆命题或否命题而得到的新形式.

例如，学生学习圆锥曲线时，有以下两个比较典型的封闭性问题.

原题1：现有△ABC两个顶点的坐标分别为点A（-6，0）和点B（6，0），且AC和BC两条边所在直线的斜率乘积等于-，求解顶点C的轨迹.

原题2：现有△ABC两个顶点的坐标分别为点C（0，-6）和点B（0，6），且AC和AB两条边所在直线的斜率乘积等于，求解顶点A的轨迹.

问题分解：上述问题所涉及的对象都是两个定点以及一个动点，其特征属性在于定点与动点连线的斜率比较特殊，而最终的问题又都集中于动点的轨迹.

下面我们通过对上述问题的结构进行调整，进而将问题推广为：设点A（-a，0），B（a，0），且a>0，现有动点P满足让直线PA和PB的斜率乘积等于m（m≠0），求解动点P的轨迹.

我们还可以对上述推广问题进行逆向思考，由此形成问题：若曲线-=1（m≠0，a>0）上有某点P（x，y）（y≠0），现有两个定点A（-a，0）和B（a，0），且a>0，证明直线PA和PB的斜率乘积等于m.

对上述逆向思考所构成的问题，我们还可以进行推广，形成以下问题：若AB是经过-=1（m≠0，a>0）中心的任意一根弦，而某点P（x，y）位于该曲线上，且与A，B两点不重合，证明直线PA和PB的斜率乘积等于m.

通过对原有问题进行逆向推广研究，设计出新的问题，从而促进学生对圆、椭圆和双曲线的概念、方程以及图像形成较为统一的认识，并能在归纳和类比的基础上体会对立统一的思想，进而帮助学生在类似问题的处理过程中形成结论和解决方法的猜想，并设法对猜想进行证明或否定，由此实现问题的最终解决，这也将成为学生探索数学认知的常用方法.

[?] 怎样来“变视角”

所谓“变视角”就是将原命题中的定量研究转换为定性研究，并由此形成新的解释；当然也可以是将原命题中的抽象性研究转变为形象化的模型并由此形成新的解释；还可以从新方法或新概念出发，从新的视角更为全面地对已有认知产生全新的理解，等等.

在学生已经掌握了正弦定理和余弦定理之后，我们引导学生综合运用这些关系来处理斜三角形的问题，而一些问题就可以通过“变视角”处理来增强问题的开放性.

问题分解：研究上述恒等式a2sin2B+b2sin2A=2absinC，我们可以发现等式的右半边不就是原三角形面积的四倍吗？如果在恒等式两侧同时除以4且运用二倍角公式，我们可以得到：bsinA·bcosA+asinB·acosB=absinC. 在△ABC中画出AB边的高CD，点D为垂足，若点D在AB边的中间区域，则bsinA·bcosA，asinB·acosB分别对应△ACD和△BCD的面积，二者之和正好就是整个原三角形的面积.

对原有问题，我们可以改变研究的视角，从而设计出问题1：在△ABC中，以AB边为底边构建高CD，点D为垂足，若点D恰好在AB边的端点上或位于AB边的延长线上，你是否还能解释a2sin2B+b2sin2A=2absinC的几何意义？

当然还可以将上述问题进一步进行调整，由此形成问题2：在△ABC中，以AB边为底边构建高CD，点D为垂足，请结合△ACD和△BCD的面积关系，写出一个有关于△ABC中六个基本元素的恒等关系式.

对于问题2，其开放性在于没有规定两个三角形面积之间具体的关系，可以是面积之比，也可以是面积之差. 但是问题实际研究的过程中，学生都可以从三角形底边高的不同形式，具体一点就是垂足点D的具体位置来分类探讨面积之间的等量关系，进而得出恒等式的证明. 当然，相关问题的解决思路也不唯一，学生也可以运用正弦定理和余弦定理通过“边角互化”的方法来进行证明.

通过上述问题的分析，我们还可以发现采用数形结合的思想实现“以形助数，以数解形”，这将有助于复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而让学生用形象思维来推动抽象思维的发展，这也有助于学生进一步把握数学问题的实质，它也是数学研究灵活性与规律性的统一. 通过上述开放性问题的设计，教师引导学生用崭新的视角来重新审视他们所熟悉的问题，这对指导学生获得更加新颖的发现有着显著的指导意义.

[?] 怎样来“变情景”

情景就是为数学问题发生的背景，联系到当前数学教育所倡导的实践性和创新性，我们可以将其理解为让学生将所学的数学知识运用到真实的实践活动之中，开展不同主题的研究性学习，而该项学习任务的真实性、实践性也正是开放性问题教学所要实现的终极目的.

当学生已经学习过“平面向量的坐标表示”之后，笔者要求学生围绕有关向量知识的学习，自主选择和利用相应的学习资源，积极开展搜集、观察、体验、实验、操作等实践活动，并从中探索完整且具体的数学知识，形成相应的各项技能，并促成相关能力的发展. 而学生通过自主实践活动充分训练了他们的探究能力和建构知识的能力，他们的创新意识也得到了充分的发展. 现将几个小组的活动内容简介如下：

A小组的学生将平面向量的二维坐标表示方法拓展为多维向量的形式，他们不但对n维向量的运算法则进行了研究，还尝试着运用n维向量的相关原理来表示某次体操比赛中6个裁判对运动员多次表演给出的平均分. 他们还以在超市购买商品为模型，运用n维向量的数量积对购买商品按照不同单价以及数量的总价进行表示. 在教师的引导下，他们还对矩阵以及运算法则进行自学，从而对自己原先的数学表达形式进行优化，对数学的简洁美有了自己的感悟和体会.

B小组通过资料的查阅深度研究了向量积及其应用，他们从概念、运算法则等角度对向量积和数量积进行了对比和分析，并将向量积与物理学中的转动模型联系起来，从数学的角度来研究角动量定理和角动量守恒定律.

C小组直接将向量和物理学中的矢量放在一起研究，较为全面地分析了向量的概念以及运算法则在物理学中的运用，他们还写了一篇小论文“向量与高中物理学习”.

还有几个小組将向量与信息技术联系起来，比如探讨向量在GPS导航系统中的运用. 由于实践活动本身就具有开放性，因此很多方法完全超出了教师的预设，也取得了让人意想不到的成果.

教师在设计开发性问题时，必须要始终明确问题设计的初衷，即为了鼓励学生积极切换研究的视角，调整研究的层次，从而更加全面地分析和探索问题，并借此寻找不同的答案. 开放性的问题应该让不同层次的学生都能按照自己擅长的角度来审视问题，并由此感悟再生知识的方法以及建构知识的技巧，让每一个学生都将因此获得机会来展示自己、感受成功.endprint