常微分方程中常数变易法的推广解析

2018-01-02贾永兴

数学学习与研究 2017年19期

贾永兴

【摘要】常微分方程是高等数学中非常重要的一个构成部分，而常数变易法则也是求解线性微分方程一种极为有效的方法.文章以常数变易法在常微分方程中的运用为前提，进行了深入分析，并提出了几点建议，希望能够为这方面研究提供有价值的参考.

【关键词】常微分方程；常数变易法；推广；高等数学

所谓常数变易法，即求解微分方程的一种特殊且有效的方法，基于一些特定条件，对微分方程进行求解，十分简便.而常微分方程作为高等数学中一个非常重要的构成部分，运用常数变易法进行求解，也是其中最为有效的一个方法.加之常微分方程与生活实际联系比较紧密，所以在求解方面也具有一定的简便性.然而当前阶段对常微分方程进行求解时，对于常数变易法的运用依然存在误区，基于此，本文重点对其进行了分析.

一、常数变易法与常微分方程概述

在数学领域，常微分方程是实际应用最为普遍的一种数学形式，对一阶线性常微分方程进行求解的过程中，应用最广泛的则是常数变易法[1].常数变易法即将一阶齐次线性微分方程通解所包含的常系数进行变易，使其成为待定函数，以此对一阶非齐次线性微分方程解进行明确.关于常微分方程，一般学习过中学数学的人都比较熟悉这一数学内容，初等数学范畴内已经包含比較多的方程形成，例如，线性方程、指数方程、对数方程、二次方程等，这些方程中的共同点是将研究问题内已知数与未知数存在关系进行确定，并且列举出不同数量的方程式，进而对其进行求解[3].

二、常微分方程中常数变易法的运用与推广

（一）运用于伯努利方程

对伯努利方程进行求解，首先要将其转化成为线性方程，随后按照现行方程的求解方法进行求解，除此之外，也能够语言常数变易法对其进行求解.

（二）运用于二阶常系数非齐次线性微分方程

运用常数变易法进行二阶常系数线性方程的求解，体现了十分显著的优势，比如，无须求解非齐方程特解，仅需求解一个与齐次方程相关的基本解组便可，以此便可以通过方程求解得出通解公式.

所谓二阶常系数非齐次线性微分方程基本形式如下：y″+py′+qy=f（x） ①，这一方程所对应的其次方程是y″+py′+qy=0 ②，而方程②特征方程是r2+pr+q=0 ③，实际求解时，需要按照方程中实根与复根的实际情况，进行详细考虑，主要包含以下几种情况：

三、结束语

综上所述，常微分方程作为高等数学中的一个非常重要的组成部分，对其进行求解一直以来是专家研究的主要部分，而使用常数变易法对其进行求解，也是诸多求解方法中最为常见的一种，通过使用常数变易法，能够提升常微分方程解的准确性，以此为常微分方程研究贡献力量.

【参考文献】

[1]郭晓晔.求解三阶非齐次线性微分方程的常数变易法[J].齐齐哈尔大学学报（自然科学版），2017（2）：92-94.

[2]于亚峰.n阶非齐次线性微分方程的常数变易法[J].贵州师范大学学报（自然科学版），2015（6）：83-86.

[3]王奕挺，胡良根，张晓敏.常数变易法的探究式教学研究[J].高等数学研究，2015（3）：7-9.