“数值分析”课程中数值逼近内容的案例教学探讨

王敏

【摘要】针对学生在“数值分析”学习中遇到的困难，在教学方法上做了一些探索，以算例为主导的“数值分析”的教学模式.通过对一具体算例应用不同的数值逼近方法的处理，介绍并比较了两种常用的数值方法：插值多项式和拟合多项式的构造和应用.

【关键词】数值分析；案例教学；插值多項式；拟合多项式

数值分析中需要处理一类实际工程及科学实验中经常遇到的问题：已知一些离散点处的函数值，有时需要预测未知点处的函数值，有时需要研究变量之间的函数关系.这类问题都可以归为数值逼近问题，通过解决这类问题，一方面，可以让学生理解和掌握相关理论知识，另一方面，可以培养学生应用理论知识结合计算机技术解决实际问题的能力，因此，在数值分析的教学中占据了非常重要的地位.

二、最小二乘法构造拟合多项式

拟合法：在一类曲线中求一曲线φ（x），使其与f（x）在节点xi的误差ei=|φ（xi）-f（xi）|总体上最小.这里的曲线可以是直线、多项式曲线、指数函数曲线、三角函数曲线等等.而ei“总体上最小”，一般指在一定范数意义下最小.常用的几种范数中，∞-范数会导致个别误差数据点起主导作用，与常识不符；1-范数的光滑性差，不便与微分学应用相结合.常用的准则是让误差在2-范数意义下最小，对应的拟合为最小二乘拟合.和前面一样从理论最简单直观的代数多项式作为切入点进行讨论.

三、其他的数值逼近方法

上面的两种数值近似方法理论上最简单也最容易实现，实际应用中还有各种其他近似方法.插值方法中近似函数为三角函数的三角多项式插值、考虑导数的埃尔米特插值，以及在工业设计里得到广泛应用的样条函数插值等等.拟合方法中，考虑残差向量在‖·‖1下最小的拟合，这时数据拟合问题就归结为约束优化问题，可以用线性规划的方法求解；考虑残差向量在‖·‖∞下最小的拟合，这样数据拟合问题就变为最优化问题中的极小—极大问题，也可以用线性规划方法求解.

四、结 语

数值逼近实用性强，特别是此部分内容与许多生产实践联系密切，通过对具体数据用不同的算法进行处理有助于学生理解课程内容、掌握数值方法、了解应用背景.同时，培养和提高了学生分析问题、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]杜廷松.关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007（2）：8-15.

[2]王利东，刘婧.从应用实例出发的线性代数教学模式探讨[J].数学教育学报，2012（3）：83-85.endprint