容错·融错·荣错：优化小学数学错例库建设

解玲兰

摘 要：错误是学生数学学习中最为重要的课程资源。教学中，教师要善待学生的错误，理性分析学生的错误。通过对学生错误的分类、统整、优化，建设数学错例库。“容错”是建设错例库的指导思想，“融错”是建设错例库的操作策略，“荣错”是建设错例库的价值旨归。

关键词：错例库建设；容错；融错；荣错

学生在数学学习中发生错误是正常的事情。“错误”不仅是学生学习中客观发生的一种学习行为，更是教师可利用的一种课程资源。在日常数学教学过程中，教师要善待学生的错误，理性分析学生的错误。为此，我们可以将学生的错误聚集起来，分门别类，或按学习类型，如认知类和非认知类，或按知识类型，如“数与代数”类、“图形与几何”类、“统计与概率”类、“综合与实践”类等。借鉴全国著名数学特级教师华应龙老师的“化错思想”——“容错·融错·荣错”，可以统整、优化小学数学错例库建设。

一、容错，建设错例库的行动理念

所谓“容错”，一方面是指教师要包容学生的错误，另一方面是指教师要有意识地将学生的错误搜集起来。建设小学数学错例资源库，对于提高学生学习效率，加强教师教学的前反馈具有现实性意义。毫不夸张地说，错例库是师生教学行动的指南。传统教学中，当学生发生错误时，教师往往只是将错就错地予以简单讲评，学生只是机械订正，从错误表层滑过。仅有少数学生拥有一个纠错本，致使学生的错误总是“一错再错”。如何将学生错误消灭于萌芽状态？如何能对学生错误“防患于未然”？笔者认为，建设一个错例库不失为一个明智之举。

1. 教练容和

错例库建设是基于师生数学教与学过程而实行的“教练融合”的资源整合。毫无疑问，“教与学”是学校教育的主体、核心，“考与练”是学校教育的副产品，在某些地方甚至不允许考试，而只让学生做专题研究、做练习。这里将“教—考—练”并列，其目的是开辟一个区间，在这个区域中学生的主要任务是解决问题。设立错例库，就是“小立课程，大作功夫”，将学生数学学习中所遭遇的一切问题都作为一个课题来对待。从这个意义上说，教材上的例题和习题应该处于同等重要的位置。“以一道题带动一类题”，是习题库建设的“法宝”。

2. 师生容和

尽管错例库建设的主体是教师，但建设错例库绝不仅限于教师。学生错误应该是错例库建设的鲜活源泉。在建设错例库过程中，教师要善于倾听学生心声，读懂学生错误，并试图站到学生立场上去，从教育学、心理学等多种角度解读学生错误。有些错误属于误解性错误，如圆的周长总是直径的π倍，不少学生认为是3.14倍；有些错误属于知识性错误，如学生经常将数的改写与省略混为一谈；有些错误属于策略性错误，如对某些应该画图的习题，学生总是疏于画图等。将学生错误一个阶段、一个阶段地搜集起来，并且在错题下面注上错误现象、错误原因分析、错误规避策略等都是建设错例库的有效路径。

3. 电稿容和

当下时代是一个“互联网+”“多媒体+”的网络智能时代。因此，错例库建设绝不能停留在过去纸质稿的基础上，必须让电子稿与纸质稿相互支撑。一方面，电子稿便于更新，补充新题、改造废题，让数学“错例库”永远处于开放、动态和不断完善的建设、更新之中；另一方面，纸质稿便于教师展开研讨、审读、把关，将数学错例库建设推向精致化、精品化、精细化的境界。电稿容和，必将形成质量过硬、品质上乘的“错题库品牌”，使数学错例库具备一定的放射指导效应。

二、融錯，建设错例库的操作策略

著名教育大师华应龙老师曾经这样说，“教育就是融错”。某种意义上，学习就是学生发生错误、认识错误、消融错误的过程。建设错例库的过程，就是要让学生认识错误、辨析错误，从而规避错误、主动建构知识的过程。对于学生来说，学习是“摸着石头过河”，是不断地尝试错误。将易错题集中起来消解、消融，便于学生在学习中警醒。

1. 在“精选题”中消融

著名教育家贝恩布里奇曾经这样说，“错误，人皆有之。作为教师不利用是不可原谅的”。学生错误层出不穷，各种各样的类型，一道习题的错误可能牵涉诸多知识点，一个知识点的模糊也可能让很多题目出错。显然，将学生的全部错题网罗是幼稚的，也是不现实的，教学中，教师要对学生的易错题进行筛选，其技术参数、质量指标（区分度、难易度等）应该明晰。笔者在教学中，依照知识点进行题库建设，如教学《运算律》（苏教版小学数学教材第8册）中的“乘法分配律”，学生正向解答“（a+b）c”比较顺畅，但是对于“ac+bc”，学生不容易掌握，尤其对于“ac+c”这样的形式，学生更是一筹莫展。基于此，在数学错例库中，这一类习题就应当拥有各种变式，如32×9+32，45×11-45等。题库犹如“药库”，教学中教师要对症下药。

2. 在“智能做”中消融

教师不仅需要将学生的错题建设成库，更关键的在于运用错例库，让错例库成为学生学习的得力助手。学生点击进入错例库，就可以展开自评。通过的，可以赢得错例库中设置的掌声；发生错误的，错例库就应该给出正确答案，并且提醒学生错误原因。如错题“不相交的两条直线叫作平行线”，学生点击“对”，系统自动识别“错”，并给出应答——“同一平面”，举出反例——“异面既不相交也不平行的两条直线”。这种自动化的应答，让错例库成为化解学生错误的有效平台，学生的错误能够消解在错例库中。同时，我们让学生借助现代信息手段如iPad、电子白板、触摸屏等，将学生的普遍错误予以放大、聚焦，形成实时互动，让学生议错、评错、析错，从不同角度反思错误、修正错误。

3. 在“分析链”中消融

对于数学错例库，最为重要的是能够通过错例库的运行，对学生学习状态、认识水平展开自动化、电子化、大数据式的分析。在日常教学中，笔者发现，许多学校要求在学生测试之后，教师要展开试卷分析。限于纸质分析的麻烦，许多教师草草了事，更有甚者伪造数据、胡乱分析。其结果导致教学的失范、失控、无序，教学缺乏针对性、实效性。建设数学错例库，可以让教师对学生数学学习的错误、成因乃至心理分析精确化、清晰化。笔者在建设数学错例库中，引进现代教育测量技术，借助经典测量理论（CTT）和项目反应理论（IRT），展开研究。引进了一系列软件，常用的有office中的Excel软件、多数据库软件如Access等。在这一系列理论、软件的支撑下，教师获得了对全体学生学习状态的数据分析，从平均分到最高值、最低值、优分率、及格率等，形成了有说服力的统计表、统计图等。endprint

三、荣错，建设错题库的价值旨归

华应龙老师说，“化错教学”有三重境界：错是错，要温暖地容错；错不是错，要智慧地融错；错还是错，要自豪地荣错。在错例库的建设中，教师要发掘错例库中习题的价值，让学生从错误中汲取教训、获得营养，错题将由此熠熠生辉。通过错例库，学生认识错误、理解错误并且主动纠正错误，最终达到“荣错”“无咎”的境界。

1. 荣错——让错误成为一种“私密”

有些学生，性格內向、腼腆，自己的错误害怕被别人知晓，对于错误原因，更愿意形容为“粗心”，以藏匿自己出错的其他诸多原因。因此，错例库的建设首先要维护学生的自尊。学生从不敢正视错误逐步走向直面错误需要一个过程。为此，我们在学生错例库建设中通过有效的用户名、密码进行身份验证、注册，进而登录系统，进行相关的习题作业，然后提交作业，查看作业结果等。在这里，学生错误的私密性得到了有效的保护。

2. 荣错——让错误成为一种“分享”

在长期教学中，笔者发现许多学生对于数学解决问题过程中所犯的错误总是“一错再错”，其原因固然是多方面的，但学生隐藏错误、惧怕错误、逃避错误是其中的一个重要原因。建设错例库，其根本目的是让学生正视错误、直面错误，对错误不再逃避、不再隐藏，这就是“荣错”。“荣错”不是对错误感到光荣，而是对错误的一种积极态度，不再感觉错误见不得人。“差错是沙粒，但可以培养出珍珠。”错误能够让学生防微杜渐，盲羊补牢，抵达无咎的境界。例如对于“圆周长的一半”和“半圆的周长”，一位学生在自己发生错误并且理解了二者的差异后，主动说给其他同学听。因此，其他学生汲取这位同学的错误教训，在完成错例库作业时都注意到二者的差异，因而将错误消灭于萌芽状态。

3. 荣错——让错误成为一种“标识”

著名学者成尚荣先生曾经这样说，“教室，出错的地方！”，正是因为有了各式各样的错误，数学教学才能精彩不断、异彩纷呈。错例库资源从何而来，从学生鲜活的错误中来。因此，从某种意义上说，学生的错误同时也是一种贡献，它让我们更加清晰、更加深刻地认识到学生的错误，包括“错误的类型”“错误的原因”“错误的矫治策略”等。正如爱因斯坦所说，“失败就是发现一条走不通的道路，这对科学就是很大贡献”。比如在“计算类”错误原因分析中，经过长期的累积，我们发现了一系列属于学生认知心理方面的错误，如感知粗略、记忆失调、思维定式、想象固着等，这些都是宝贵的财富。

开发、建设、应用和推广数学错例库，需要多方主体的积极参与，需要学校多个职能机构的积极支持、支撑，如学校的数学教研组、学校信息技术教研组、学校教科室、学校教导处、学校校长室等。伴随着教育现代化步伐的加快，建设数学错例库，并且将数学错例库不断完善，使之更好地为学生的数学学习服务，是数学错例库建设的核心理念和价值旨归。endprint