对2014年高考湖北卷理科第9题的深入探究

刘彦永

(东北师范大学附属中学 130021)

对2014年高考湖北卷理科第9题的深入探究

刘彦永

(东北师范大学附属中学 130021)

本文对一道高考解析几何填空题进行了深入探索，从不同的思路获得多种解法.

试题；解法；探究

2014年高考湖北卷理科第9题，题目虽不新颖，但是内涵丰富，引起了笔者的深入探索和思考.

题目如下：

一、试题分析

本题属于传统题，考查了椭圆和双曲线的定义和性质、正弦定理和余弦定理等知识点.以圆锥曲线为载体，考查了数形结合思想、等价转化能力和函数方程及不等式思想.

二、解法探究

本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.

思路二在△F1PF2中由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即(2c)2=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn.

思路三在△F1PF2中,由余弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|①,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|②.

注此结论也可由如下两种方法得到.

(1)利用椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式

(2)利用待定系数法

三、试题探源

本题源于人教A版教材选修2-1的62页B组第1题.试题模型来源于课本，体现了高考试题“立足教材，高于教材”的命题原则. 2013年高考浙江理科第9题也是以共焦点的椭圆和双曲线为载体的一道题，相比之下本题增加了思维量和计算量，体现了高考试题“常考常新，推陈出新”的理念.

试题解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻的认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.人教A版数学选修2-1.普通高中数学课程标准试验教科书[M].北京：人民教育出版社，2005.

G632

A

1008-0333(2017)31-0004-02

2017-07-01

刘彦永，北京师范大学硕士，中学一级教师，数学奥林匹克竞赛教练员.

杨惠民]