巧施策略，妙求复数

陈志银

(江苏省如皋市石庄高级中学 226500)

巧施策略，妙求复数

陈志银

(江苏省如皋市石庄高级中学 226500)

复数集是实数集的扩充，学生在研究复数集时，不能把实数集上的某些法则和性质照搬到复数集中来，若涉及到复数方程，复数求最值等问题，这时学生就需要根据不同题型，运用恰当的思维策略去解决问题.因此，教师们在教学的过程中，就要给予学生合理的解题策略与解题方法，不断地在教学过程中渗透，帮助学生理清思路，建立信心，打开学生的思维之门.

高中数学；复数问题；解题策略

在复数类题型中，出题者经常结合方程、集合等知识，以小题为主，侧重考查基本知识和基本技能.学生必须要清楚地知道求解复数问题的思维策略，这样遇到问题的时候才能灵活应对.所以，教师在实际的教学过程中要明确教学的大方向，侧重于对学生解题策略以及思维方式的培养，提升课堂的效率.

一、化虚为实，巧解复数

在求解复数问题时，有时会遇到运算十分麻烦的题型.这时教师要做出正确的引导，让学生利用复数的代数形式将复数问题转化为实数问题，简化解题难度.这主要是运用了复数的相等和模的概念，把复数问题“实数化”.作为教师要将这种“化虚为实”的解题策略落实到每一位学生的思维中去，通过解题去运用，将策略转换为自己的思路，充实学生的思维模式.

二、整体处理，巧解复数

整体处理的思维策略是高中数学解题策略中的又一种重要的思维方法，尤其是在解答复数问题的时候应用得比较广泛，因此，学生要学会从整体的角度出发去分析和求解，将整体思想贯穿到整个复数内容中去.

例2 如果虚数z满足z3=8，那么z3+z2+2z+2的值是多少？

解析学生拿到这道题如果不经深入的思考，直接设z=a+bi(b≠0)代入求解的话，学生就会遇到很复杂的过程，往往不容易求解出来.但是如果学生深入思考，巧妙运用整体的思维策略，就会提高解题的效率，降低解题的难度.根据题意，因为z3=8，所以z3-8=0，即(z-2)(z2+2z+4)=0.又因为z是虚数，因此z≠2，那么有z2+2z+4=0，即z2+2z+2=-2，于是z3+z2+2z+2=8-2=6.

点拨在本道题中，根据z3=8，利用立方差公式进行展开(z-2)(z2+2z+4)=0，由z是虚数，因此z-2≠0，由此可得z2+2z+4=0.接下来将待求式变形可得z3+(z2+2z+4)-2，代入求值即可.教师在教学复数的过程中要有意向地去教学，给学生灌输整体的思想，提高学生的解题效率.

三、巧用函数与方程，化解复数题

函数与方程思想的实质是提取问题的数学特征，并且用联系变化的观点来看待数学，达到函数与方程之间的相互转换，建立相应的函数关系，正确地求解问题.教师在教学的过程中，就要不断地培养学生的函数与方程的思想，在遇到复数问题时，能够准确地建立函数与方程的模型，提升学生的思维转换能力，复数难题也就迎刃而解.

例3 已知z∈C，且|z-2-2i|=1，i为虚数单位，试求|z+2-2i|的最小值是多少.

点拨本道题利用了函数与方程的思想，先是通过设出z=x+yi(x,y∈R)，列出方程，再结合函数的知识点去求解.此外，本题从几何意义的角度也可速解：z对应的点在以(2，2)为圆心，1为半径的圆上，|z+2-2i|表示z对应的点到点(-2，2)的距离，于是求出|z+2-2i|的最小值是为3.可见，函数与方程思想的重要性，教师在教学的过程中，要强化学生的认知，不断地拓展练习，运用函数与方程思想去解题，做好引导者的身份，学生也要在做题中不断总结与反思，做到真正将函数与方程的思想灵活运用.

四、运用分类讨论思想，巧解复数

分类讨论思想就是当所给的对象不能进行统一的研究时，按照一定的标准对于研究对象进行分类，然后分别研究得出每一类的结论，最后综合各个结论得出题目的结论.需要注意的说，在分类的过程中要做到不重复、不遗漏.在研究复数问题时，要充分掌握一个复数为实数、虚数以及纯虚数的充要条件.

解析根据题意，知道方程x2-2x+k=0的判别式Δ=4-4k.当α，β为实数时，Δ≥0且|α-β|2=(α-β)2即k=-1；当α，β为虚数时，Δ<0且α与β共轭，于是|α-β|2=-(α-β)2，解之得k=3.于是，综合以上所述，可以得出实数k的值为-1或者3.

点拨本道题是在复数范围内考查学生分类讨论的思想，利用分类讨论的思想去解题，对于方程的两个根α，β进行分类，分类研究α，β为实数的情况与α，β为虚数时的情况，最后根据分类的两种情况进行总结，得出要求的实数k的值.教师在教学的过程中，要不断加强对学生分类讨论思想的灌输，加强学生思维的缜密性，给予学生合适解题策略，帮助学生巧妙地解决复数问题.

总之，在解决复数问题时，教师要在教学中不断地去探索，把正确的解题策略及时地灌输给学生，在教师的“教”与学生的“学”之间架设好桥梁；学生也要不断地练习，找寻到问题的关键所在，并且合理地运用解题策略，才能解决根本问题，这样不仅可以使自己得以突破，而且在思维能力上还会得以延伸.

[1]董是.复数的解题技巧[J].高中数理化，2017(03).

[2]宁俊玲.复数高考常考题型透析与应对策略[J].高中数理化，2015(03).

G632

A

1008-0333(2017)31-0017-02

2017-07-01

陈志银(1979.6-)，女，江苏省南通人，本科，中学一级教师，从事高效教学方法研究.

杨惠民]