借助核心素养中的逻辑推理寻求解题途径

尤为军

摘 要：数学核心素养是高中新课程标准改革过程中一个闪光的词汇，是学生在高中数学学习中需要养成的一种能力。解题思路的寻求和解题过程的书写离不开逻辑推理，本文主要介绍几种常用的逻辑推理方法来寻求解题思路。

关键词：数学核心素养;解题途径;逻辑推理

中图分类号：G633.63          文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2018）20-067-1

高中数学课程标准提出，数学学科核心素养应当包含数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等要素。逻辑推理是高中数学六大核心素养之一，具体表现为发现和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证的思路和过程、构建命题体系、表达与交流等几个方面。

如何探求解题思路，这是一个十分重要的问题，也是一个老课题。以往人们大多根据已有的经验从思维的角度总结了不少真知灼见。本文从核心素养中逻辑推理的角度来探讨这个问题，试图得到另一种探求解题途径的思考方式。

一、分析法和综合法是寻求解题途径的基本方法

寻求解题途径，首先要深刻理解已知条件，要注意挖掘那些隐含着的已知条件，并充分运用所有已知条件，其次要结合已知条件，用分析法由未知（即所求的结论）找需知，再找需知，……最后找出结论和已知条件之間的联系。如果需知就是已知，解题途径就找到了。

例1 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点，求证：AB1⊥面A1BD。

分析：由“已知”想“未知”，由△ABC为正三角形，取BC中点O，连结AO，可知AO⊥BC。又因正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，可知AO⊥平面BCC1B1。连结B1O，又因在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，可知B1O⊥BD，进而可知AB1⊥BD。

由“未知”想“已知”，欲求证：AB1⊥面A1BD，需求证：AB1垂直于面A1BD中两条相交直线，而已知在正方形ABB1A1中，AB1⊥A18，只需证AB1⊥BD或者AB1⊥A1D。

最后，因为需知AB1⊥BD已是已知，证明的途径顺利找到。

二、联想与类比是寻求解题途径的重要方法

类比是一种相似，联想是一种既有目的又有方向的想象。在数学解题中，能恰到好处地利用已有知识，联想类比，是寻求正确解题途径的重要方法。

例2 设函数f（x）=-cos2x-4tsin2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）。求g（t）的表达式。

分析：题目给定的条件信息是函数解析式f（x）=-cos2x-4tsin2cosx2+4t3+t2-3t+4，又给定的数学符号，我们首先联想到它是三角函数复合而成的函数，解题中显然要用三角函数的知识，到底要哪些知识呢？目标是求函数的最小值，于是我们联想到已熟悉的基本题型：正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+b或者是二次型函数y=asin2ωx+bSinωx+c，再根据给定的条件信息，选择了正弦倍角公式，将其化为正弦型函数f（x）=（sinx-t）2+4t3-3t+3求最小值，于是思路沟通。

三、转化与化归是寻求解题途径的有效手段

化归与转化，就是在研究与解决数学问题时，采用某种手段，将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的目的。一般总是将复杂问题转化为简单问题，陌生问题转化为熟悉问题，未解决问题转化为已解决问题，等等。

例3 若不等式x2+px>4x+p-3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围。

分析：若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行，即由x2+px>4x+p-3，知（x-1）p+x2-4x+3>0，令g（p）=（x-1）p+x2-4x+3，则要使它对0≤p≤4均有g（p）>0，只要有g（0）>0g（4）>0，这样思路就畅通了。

四、特殊法和实验法是寻求解题途径的重要手段

特殊法和实验法就是通过特殊形式和具体形式来发现问题的答案或者解决原问题的思路，这是解决原问题的一个重要手段。

例4 在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求数列{an}的通项公式。

分析：显然这个数列不能一眼看出解题思路，我们只能先求出前几项来找规律，寻求解题方法。a2=2λ+λ2+（2-λ）2=λ2+22，

a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）22=2λ3+23，

a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）23=3λ4+24。

由此可发现数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n。以下就可以用数学归纳法证明了，这样思路就畅通了。

解答数学问题，关键在于掌握寻求解题思路的方法，少走弯路，以尽快获得最佳的解题思路。运用逻辑推理常常容易得到解题思路，因此，逻辑推理是数学的“命根子”，是数学教学活动的核心，也是培养科学素养的重要途径。

逻辑推理核心素养的习得，可以使人们的交流合乎逻辑，提高交流的效率和效果。在数学教学活动中，教师注重逻辑推理核心素养的培养，有利于学生理解一般结论的来龙去脉、形成举一反三的能力;有利于学生形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力;有利于学生提高探究事物本源的能力。