小学数学验证教学的必要前提和多元方法试探

冯怀勇

【摘要】有效的验证教学不仅能使学生自主检查以核对数学得数或结论，还能培养学生的再认、创新和可逆等思维，深化个体数学理解，养成严谨细致的思维习惯。因此，教师绝不可忽视验证教学，应准确把握和提供验证教学的必要前提，引导学生力求拓展，运用多元化的验证方法，发展数学思考，追求验证教学效益的最大化。

【关键词】验证；教学；前提；方法

课堂观察发现，部分教师虽然通过组织教学反馈活动，让学生知道了一个算式的得数或结果对不对，但由于对于“为什么对或不对”“怎样才能知道对不对”等问题的教学认识和实践操作不够，导致验证教学常常不落实或“走过场”。 验证是小学生学习数学的必要认知思考方式之一，教师绝不能轻视。有效的验证教学不仅是为了确认一个数学得数正不正确，还应使学生学会灵活运用验证方法，起到促成学生自主化的验证行为，培养个体科学思维品质、积累验证经验的效果。

一、有效验证的教学前提

要争取验证教学效益最大化，实现教学活动效果最优化，关键在于教师要把握学情，深度研究教材，改进教法，为验证教学的有效实施提供前提条件，使验证教学活动从一开始实施就显出其意义。

1.明确验证教学的多元目标

教学前，科学设置验证教学目标，使课堂中的验证活动指向更明确、更有效。教师应立足教材，通过适当的途径，确定验证教学的适宜目标。首先，验证教学目标的确立要基于教材。研读教材发现，有些验证活动被安排在新知探究环节，教师应关注教材中提出的思考问题，引导学生经历“猜想—验证”的活动过程，使学生自主发现数学规律或结论；有些验证活动穿插在解题环节中，教师应留意教材中布置的检验活动，使学生自觉养成验算的习惯；有些验证活动编进了书后练习中，教师应解读教材的练习设置意图，使学生通过验证练习深化知识理解。其次，验证教学目标的确立应不限于教材安排，甚至可以超越教材。教师应根据班级学生的学情，延伸拓展关于验证教学的目标和要求，使验证教学不只达成知识目标，还实现过程、情感等多元目标，以不断提升学生的数学素养。

2.考查学生已有的验证能力

学生的验证能力和水平，直接影响验证活动的有效开展。课堂研究发现，大凡学生能独立思考并想出两种及以上的验证方法，使用的验证方法有所创新，即表明该学生的验证能力处于较高水平。对此，实施验证教学时，教师应通过课前问卷、课堂练习或课后检测等途径，考查和了解不同学生的思维特点和验证水平。认清学生的能力水平，教师才能做出准确的教学判断，形成有效的验证活动过程设计。一方面，有利于教师对课堂中可能出现的验证方法情况做出有效的预设，并据此优化和完善验证教学的流程；另一方面，有利于教师把握验证教学的起点，有针对性地选择教学方式，以此强化学生在验证活动中的自主性，促进个体的验证经验的增长。

3.找准课堂教学的验证起点

教师要找准验证教学的起点，以保证验证活动的实施更顺利。验证教学的起点主要包括如下几种：（1）思维起点——一个数学问题。催生学生内在验证需求的可能是一个猜想问题、一个操作问题或一个检验要求等。教师应遵循学生认知规律，将上述数学问题作为学生认知思考的发起点，以此诱发个体内在的验证需求；（2）行动起点——一个组织形式。验证教学实施的组织形式，可以包括独立思考、小组合作，交流讨论等。教师应根据学生学习的行为特点，用一个合适的组织形式展开验证活动。（3）策略起点——一个验证方法。验证的方法丰富多样，按形态分，包括直观验证和抽象验证；按性质分，包括正向验证和反向验证；按类型分，有计算、操作、举例和统计等方法。因此，可以从一个有效的验证方法入手，保证学生验证活动的有效推进。

二、有效验证教学的多元方法

有效的验证教学要注意创设开放的空间，引发学生有深度、有内涵、有创新的数学思考，实现验证方法、经验和思想上的突破。验证方法可以借助于举例、估算、操作和笔算等多种途径来实现积极拓展的发展性教学效益。

1.举例验证：既要判断命题，也要学会对比思考

举例验证就是通过举出有代表性、具体化的例子帮助分析说明的方法。例子一般包括“正例”和“反例”两种。因此，举例验证的过程，应使学生学会从正反两方面展开思考，举出对比性强的例子，对数学命题做出辩证性的对比思考。例如：教学苏教版五上《三角形的面积》一课，教学出示“两个面积相等的三角形，一定能拼成一个平行四边形”的判断题。一般化的验证过程，教师会将分析点锁定在判断“是否一定能拼成平行四边形”上，要求学生举出“面积相等、形状不同的两个三角形”的反例，由前提不充分推知该判断是假命题。按照这一验证思路教学，学生应能说出“不一定”，但想达到“有可能”的认知层面则显得困难。有深度的验证教学不但要借助反例来说明问题，还要让学生举出“面积相等、形状相同的两个三角形”的例子，从正面加以佐证。通过横向对比不同性质的例子，使学生发现，只有形状相同的等面积三角形，才能拼成平行四边形，也促使他们产生“有的能拼成，有的不能拼成，应该是属于存在着可能”的辩证性思考。

2.估算验证：既要检验得数，也要深化算法理解

利用估算进行验证时，教师不仅要通过估算检验得数是否准确，还应注意发挥估算本身“算”的功能，使学生通过估算巩固口算、笔算，强化个体对算法的理解。例如：教学苏教版三下《两位数乘两位数的笔算》一课，教材呈现了“一辆载重3000千克的卡车，装了47桶豆油，每桶豆油连桶重58千克。这辆卡车超载了吗？”的练习题，题目要求学生先估算卡车是否超载，再列竖式计算。教材的意图是让学生用估算的得数来检验笔算的结果。按常理，学生会用“取近似数”的估算方法得出“47×58”的結果大约是3000，并据此推断卡车没有超载。深度的估算不仅仅要能“取近似数”估算那么简单，还要引导学生学会“取准确数”估算的验证方法，即算出个位上的“7×8”和十位上的“4×5”的得数，将“取准确数”与“取近似数”估算的结果进行综合，推算出“47×58”的得数最低位是“6”；最高位是“2”，而不可能是“3”。一旦学生经历了“取准确数”估算验证的过程，其对“从个位算起”“笔算过程注意进位”这样的两位数乘两位数的笔算算法，就会有更为深刻的理解。

3.操作验证：既要说明事实，也要促成方法创新

教学中，当学生对一个数学现象产生了疑问，或在认知上存在不确定时，使用操作能进一步证明学生先前认知的正确性，并诱发个体的创新思考。例如，教学《图形放大与缩小》一课，课堂教学呈现“按2∶1的比例画出直角三角形放大后的图形”的练习题。画图时，学生基本会按照“先行放大直角三角形的两条直角边；接着，在放大后的两条直角边的端点处连线，形成放大后的斜边”的步骤操作画图。因为斜边是连线所得，其长度未经测算，因此，学生会对斜边长度是否符合放大要求心存怀疑，进而产生验证的心理需求。学生验证斜边是不是也按2∶1放大时，一般会测量出两条斜边长度，再算出长度比是不是2∶1。如此的验证过程，可能存在数据误差的干扰，在操作方法上显得机械、呆板。对此，验证教学可以引导学生进一步思考，探求能否不用量的方法来验证斜边确实也是以2∶1放大。这可以使得学生生成在直角三角形里数方格、平均分出小三角形等有一定创造性的多种验证方法，从而加深他们对图形放大与缩小的理解。

4.笔算验证：既要检验笔算，也要启发多样算法

运用笔算验证笔算时，教师应尽量避免将教学只聚焦于检验计算得数是否正确上，而应引导学生从算法上寻求突破口，追求检验算法的多样化，以此锻炼学生的逆向思维和发散思维。例如：教学苏教版六下《解决问题的策略》一课，教材呈现了“星河小学美术组男生人数占总人数的2/5。已知女生有21人，男生有多少人”的教学例题。解题过程中，教学提出“根据数量关系列式计算，并进行检验”的要求。尝试检验教学时，教师应引导学生形成正向检验，用算出的计算得数检验男生是否占2/3，用算出的计算得数，检验男生和女生人数的比是不是2∶3等；还可以引导学生做出逆向检验，将算出的计算得数代入方程式中进行检验。通过尝试多种检验算法，学生不仅更加明确此题的数量关系，审视解题过程，还对解决问题需要合理选择策略加深了认知理解。

在教学中，教师绝不能看淡学生的验证活动，认为其是无足轻重、可有可无的，而应将验证教学作为一个促进学生数学素养的重要途径和不可忽略的发展契机，以发挥其独特的思维培养功能和作用，使学生的举例、操作、计算等方面的数学素养得到长足的提升。endprint