材料内阻对旋转复合材料轴动力学稳定性的影响研究

任勇生， 时玉艳， 张玉环

(山东科技大学 机械电子工程学院，山东 青岛 266590)

材料内阻对旋转复合材料轴动力学稳定性的影响研究

任勇生， 时玉艳， 张玉环

(山东科技大学 机械电子工程学院，山东 青岛 266590)

由于复合材料与金属材料相比，具有更为突出的阻尼耗散能力，超临界旋转复合材料轴在材料内阻的作用下更容易产生不稳定自激振动。从复合材料本构关系、应变-位移关系基本方程出发，基于Bernoulli-Euler梁理论，并考虑复合材料的黏弹性阻尼耗散特性，在导出旋转复合材料轴的动能、势能和内阻耗散能的基础上，采用Hamilton原理建立了转子系统的运动微分方程，采用Galerkin法对复数形式的弯曲方程进行求解，导出转子系统的特征方程。通过数值分析得到固有频率-转速曲线和阻尼-转速曲线，求得了临界转速和失稳阈。研究了铺层角、长径比和铺层方式的影响。模型结果的正确性，通过与文献结果对比，得到了验证。

复合材料轴;内阻;振动稳定性

将高性能先进复合材料用于航空、汽车、船舶传动轴系统的结构设计，不仅能带来明显的轻量化效果，增加有效载荷重量，提高载运工具的效率，同时也可以借助于复合材料比刚度、比强度高的特点，采用一根直径更短、跨度更长的复合材料传动轴取代两根组装在一起的金属传动轴，以解决汽车传动轴系结构复杂的问题。特别是，采用复合材料的铺层设计可获得更高的临界转速，从而提高传动轴的能效和传动功能。然而，由于复合材料具有比金属材料更强的阻尼耗散能力[1]，当转速大于临界转速时，转子系统在材料内阻的影响下，往往会出现不稳定的涡动现象，并引发严重的后果。因此，超临界转速下的内阻失稳问题，是复合材料轴转子系统的研究与设计中应该着重考虑的问题。

迄今为止，绝大多数的有关材料内阻对转子系统稳定性影响的研究仅限于旋转金属轴[2-6]。研究表明，当转速超过第一阶临界转速时，材料内阻(或称为旋转阻尼)将会引发转子涡动，即转子系统运动失去稳定性。近年来，随着高速复合材料转子动力学研究的发展，考虑复合材料内阻的转子系统动力学分析以及材料内阻的失稳预报，已经开始受到关注。Singh等[7]采用分层梁理论提出了一个具有内阻的复合材料转子的动力学分析模型。Kim等[8]研究锥形复合材料悬臂轴的受迫振动与稳定性问题。Montagnier等[9]研究位于黏弹性支承上的复合材料轴的超临界动力学特性。然而，上述这些研究大多采用人为给定的等效黏性阻尼系数来表示材料的内阻。Sino等[10]基于简化的均匀梁有限元模型(SHBT)，研究带有刚盘和弹性支承的旋转复合材料轴的动力学特性，其中采用黏弹性复合材料复本构关系描述内阻特性。

复合材料轴的内阻一般来源于材料内部能量的耗散。Saravanos等[11]提出了一个预测各向异性复合材料空心梁模态阻尼的有限元模型，但它仅适用于非旋转的复合材料梁或者叶片。Ren等[12]基于变分渐进(variational asymptotical approach)复合材料薄壁梁理论建立复合材料轴转子系统的动力学模型，其中采用单层-截面-轴多尺度方法对复合材料内阻进行建模。

本文基于Bernoulli-Euler梁理论，提出一个考虑复合材料内阻的转子动力学模型。从复合材料应力-应变和应变-位移基本方程出发，并且考虑复合材料的黏弹性阻尼耗散特性，在导出复合材料轴的应变能、动能和阻尼耗散能的基础上，采用Hamilton原理导出运动方程。建模过程对复合材料轴的壁厚(薄壁或厚壁)不加任何限制。为了研究旋转复合材料轴的弯曲振动与稳定性，本文采用复数坐标表示并借助于Galerkin法，对弯曲振动方程进行求解。在导出转子系统的复特征方程的基础上，通过数值计算获得了复合材料轴的固有频率和阻尼随转速的变化曲线，揭示了纤维铺层角、铺层方式和长径比对临界转速和失稳阈的影响规律。本文分析模型的正确性通过与文献结果的对比，得到了验证。

1 理论模型

为了建立如图1所示，转速为Ω,长度L的旋转复合材料轴的运动微分方程，采用Hamilton原理

(1)

式中:δT和δU分别表示动能和势能的变分;δW表示复

图1 旋转复合材料轴结构示意图Fig.1 Schematic of the rotating composite shaft

合材料轴由于黏弹性阻尼产生的耗散应变能。

应力-应变方程为

(2)

应变-位移方程为

(3)

式中:ux表示中性轴沿x轴方向的位移;kxz和kxy分别表示轴在z和y方向的曲率;φ表示横截面绕x轴的扭转角。

复合材料轴的应变能

(4)

式中:轴向力Nx;弯矩My;Mz和扭矩Mxα分别表示如下

(5)

其中

(6)

根据Bernoulli-Euler梁理论

(7)

式中:ψz和ψy分别表示横截面绕y和z轴的转角;uy和uz分别表示中性轴沿y和z轴方向的位移。

将式(7)中前两式代入(5)中第2、3式，有

(8)

复合材料轴的动能

(9)

其中

(10)

式中，“·”表示对时间t求导，ρk为复合材料单层的密度。

由式(4)和式(7)，应变能变分δU导出如下

(11)

动能的变分为

(12)

复合材料阻尼耗散力的虚功

(13)

(14)

经过与式(11)类似的推导，可得

(15)

(16)

其中

(17)

将式(11)、(12)和(15)代入方程(1)，得

(18)

可以看到，方程(18)中的第2和第3个方程组成弯-弯耦合方程，第1和第4个方程组成拉-扭耦合方程，这两组方程之间是相互独立的。

由弯-弯耦合方程，并借助于式(5)和(16)，可以导出位移表示的弯曲振动方程

(19)

(20)

(21)

设方程(21)满足简支边界条件的解，具有形式

(22)

式中:λn=ωn+idn(n=1,2，…)为复特征值，实部ωn和虚部dn分别为固有圆频率和模态阻尼。显然，如果虚部dn大于0，则转子系统是稳定的，否则系统是不稳定的。

将式(22)代入式(21)，采用Galerkin法进行化简，得下列复特征方程

(23)

2 数值结果与分析

2.1 模型验证

采用本文模型和计算方法，得到圆形空心复合材料悬臂梁的固有频率和模态阻尼数值结果，如表1所示。将这些结果与文献[11]的有限元模型结果进行了比较，可以发现固有频率的计算结果比较接近，但模态阻尼存在一定的差异，这可能是由于本文的弯曲振动模型不涉及拉-弯耦合刚度的缘故。

表1空心圆截面复合材料悬臂梁的固有频率和模态阻尼

Tab.1Naturalfrequencyanddampingofvariouscantileverlaminatedtubularcircularbeams

铺层方式模态固有频率/Hz耗散因子/%文献[11]本文文献[11]本文[0°8]s一阶拍打3.23.330.661.08一阶挥舞3.23.330.661.08[90°8]s一阶拍打1.91.922.352.28一阶挥舞1.91.922.352.28[0°2/90°2/45°2/-45°2]s一阶拍打2.42.551.441.68一阶挥舞2.42.551.441.68[45°/-45°]8一阶拍打2.02.392.451.91一阶挥舞2.02.392.451.91

表2给出采用本文模型预测得到的一个旋转复合材料轴的临界转速，同时也列出来自其它文献的计算结果。该复合材料轴由硼/环氧层合材料制成，铺层方式[90°/45°/-45°/0°6/90°]，长度2.47 m，平均直径和厚度分别为12.69 cm和1.321 mm[13]。由表2可知，本文结果与采用等效模量梁理论(EMBT)得到的结果[16]是相近的。

表2 复合材料轴转子系统的临界转速Tab.2 The critical speed of composite shaft rotor

2.2 转速对固有频率和阻尼的影响分析

为了研究旋转复合材料轴的固有频率和阻尼随转速的变化规律，确定临界转速和失稳阈，下面的数值算例取复合材料轴的平均半径为0.176 m，厚度0.010 16 m，采用角铺设[±θ]8的层合方式，长度L根据长径比确定。复合材料力学参数如表3所示。

表3 材料力学特性[11]Tab.3 Mechanical properties of material[11]

图2和图3分别表示长径比18的旋转复合材料轴的第一阶固有频率和阻尼随转速的变化曲线，其中也显示出铺层角θ分别取0°，30°和60°的影响。

图2 不同铺层角复合材料轴第一阶固有频率随转速变化曲线(L/d=18)

Fig.2 First natural frequencies versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

图3 不同铺层角复合材料轴第一阶阻尼随转速变化曲线(L/d=18)

Fig.3 First dampings versus rotating speed for different ply angle (L/d=18)

由图2可以看到，转速为0时，固有频率随着铺层角的减小而增加，因此，临界转速也随着铺层角的减小而增加。这是由于沿纤维纵向的弹性模量E11明显大于沿横向的弹性模量E22(见表3)。所以，铺层角越小，则轴的弯曲刚度D11越大，固有频率和临界转速也越大。

由图3看到，阻尼-转速曲线上分支的阻尼值在整个转速范围内始终保持为正值，这说明转子系统的正进动涡动是稳定的。而阻尼-转速曲线下分支的阻尼值，在一定的转速范围内为正的，随着转速的增加并且一旦超过某个界限，就开始由正变为负，这意味着转子系统丧失稳定性。阻尼为0的转速，就是转子系统的失稳阈。

此外，由图3还可以看到，失稳阈随着铺层角的增加而减小。这是因为失稳阈的大小与复合材料内阻的大小成反比。既然纤维横向的阻尼能力要远高于纤维纵向的阻尼能力(见表3)，所以，铺层角越大，即纤维越靠近轴的横向铺设，沿此方向上内阻也越大，因此，产生失稳的转速也就越小，即转子系统也越容易发生失稳。

2.3 长径比、铺层角和铺层方式对临界转速和失稳阈的影响分析

表4给出对应于三种不同的长径比的、具有铺层方式[0°]16、[±30°]8和[±60°]8的转子系统的临界转速和失稳阈的计算结果。由表2可知，临界转速和失稳阈随着长径比的增加而减小，说明在其它条件相同的情况下，长度较长的轴相对更容易失稳。上述结论与文献[10]的结论是一致的。由表4也可以看到，第一阶临界转速与失稳阈相同，说明转子系统一旦超过临界转速进入超临界范围，就会产生不稳定现象。

表4 长径比对临界转速和失稳阈的影响Tab.4 Effect of length aspect ratio on critical speed and instability threshold

表5的结果表明，铺层中含0°铺层角的单层越多，则失稳阈越大，转子系统越不容易产生材料内阻失稳。事实上，铺层方式对稳定性的影响是每个单层影响效果的综合体现。单层的影响包括铺层角以及单层在叠层中的位置。如果单层的铺层角不变，仅改变它在叠层中的位置，失稳阈也同样会发生变化，例如，在铺层方式(5)和(6)中的铺层角为90°、45°和0°单层的数目是相同的，它们分别为5,2和9，但这些单层在叠层中相对位置的变化，也会导致失稳阈变化。

表5 铺层方式对失稳阈的影响(L/d=30)Tab.5 Effect of stacking sequence on instability threshold(L/d=30)

由此看来，在稳定性设计中，可以利用铺层方式作为参数，对复合材料转子系统的动力学特性进行优化，从而最大限度地提高系统在超临界旋转下的运行稳定性。

3 结 论

本文基于复合材料的应力-应变关系、应变-位移关系、Bernoulli-Euler梁理论和Hamilton原理，建立具有内阻的旋转复合材料轴的动力学方程。模型从单层复合材料的黏弹性阻尼耗散特性出发，引入复合材料内阻的影响。采用复数坐标表示旋转复合材料轴的弯曲振动方程，基于Galerkin法得到系统的复特征方程并进行求解。本文模型能够用于揭示旋转复合材料轴的固有振动特性和阻尼特性随转速的变化规律，预测转子系统的临界转速和失稳阈，评价纤维铺层角、铺层方式和长径比的影响效果。主要研究结论如下：

(1)材料的内阻耗散特性是导致旋转复合材料轴在超临界状态下产生动力不稳定的根本原因，对临界转速和失稳阈能够产生影响的主要因素包括纤维铺层角、铺层方式和长径比。

(2)临界转速和失稳阈随着铺层角的增加而减小，同时也随着长径比的增加而减小。

(3)铺层方式能够影响复合材料轴的弯曲刚度和弯曲阻尼，从而影响转子系统临界转速和失稳阈，在本文给出的所有铺层方式中，[±60°]8对应的弯曲刚度系数最小，弯曲阻尼系数最大，失稳阈最小，因此，最容易发生失稳，所以，最不适合在超临界范围内应用。

(4)由于旋转复合材料轴的稳定性对铺层方式的高度敏感性，可取铺层方式作为参数，对转子系统的稳定性进行优化设计，以便能够极大地提高转子系统在超临界旋转下的运行稳定性。

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Effectsofinternaldampingondynamicstabilityofarotatingcompositeshaft

REN Yongsheng, SHI Yuyan, ZHANG Yuhuan

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qindao 266510, China)

As composite material has a higher damping capacity than metallic materials, a supercritical rotating composite shaft under the action of material’s internal damping is easier to have an unstable self-excited vibration. Here, based on the basic equations for constitutive relations and strain-displacement relations of composite material, the kinetic energy, the potential energy, and the internal damping dissipative energy of the rotor system including the rotating composite shaft were derived with Bernoulli-Euler beam theory and considering dissipative characteristics of viscoelastic damping. The rotor system’s equations of motion were deduced using Hamilton principle. Galerkin method was used to solve the rotor system’s equations of motion in complex coordinates to derive the characteristic equations of the rotor system. The rotor system’s natural frequency versus rotating speed curve and damping versus rotating speed curve were obtained through numerical analysis. From these curves,the critical rotating speed and instability threshold of the system were gained. The effects of ply angle, stacking sequences, and ratio of length to outer radius on the system’s critical rotating speed and instability threshold were analyzed .The correctness of the dynamic model built here for the rotor system was verified by comparing the calculated results of critical speedand damping of the rotor system with those available in literatures.

rotating composite shaft; internal damping; dynamic stability

国家自然科学基金(11272190;11672166)

2016-10-24 修改稿收到日期：2017-02-10

任勇生 男，博士，教授，1956年生

TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.23.027