经历教学：让错误生成融入新知探究——以“多项式乘以多项式”教学为例

■魏爱凤

经历教学：让错误生成融入新知探究
——以“多项式乘以多项式”教学为例

■魏爱凤

笔者在一次课堂展示活动中，因为把学生的一些错误生成有机融入新知探究，让学生经历了较好的纠错、究错、评错的过程，受到观课教师的好评。下面是该课的一些教学片段，并附几点教学思考，供大家研讨。

一、“多项式乘多项式”的教学片段

1.教学片段1。

师：上一节课我们学习了“单项式乘多项式”，大家想想我们接下来会学习什么内容？

生1：当然是“多项式乘多项式”了。

师：对的！（师板书课题：多项式乘多项式。）你怎么知道的？

生1：我预习过，书上是这样的内容。

师：你能说说多项式乘多项式该怎么运算吗？

生1：多项式与多项式相乘，先用一个多项式里的每一项乘另一个多项式里的每一项，再把所得的积相加。

师：讲得很好，将课本上的法则背出来了，我们来看看，他对这个法则的理解究竟到达了什么程度？对于（a+b）（c+d）=ac+ad+bc+bd，你先谈谈a为什么乘到d，a和c之间有没有关系？b为什么就乘到c，b和d之间有没有关系?

生1：不是说一个多项式里每一项乘另一个多项式里的每一项吗？

师：大家觉得他的理解对不对？

生2：不对。

师：为什么？

生2：他对“每一项”的理解不正确。

师：那应该怎么理解？

生2：（上台板演）如下图的示意图，a乘到c，a乘到d，b乘到c，b乘到d。这才是符合要求的。

师：大家同意他这个做法吗？

众生：同意！

师：我有个问题不明白，你怎么就认为这样做是对的呢？根据什么理由来做的？谁能帮我更进一步把这个问题解决了？

学生陷入思考（看来有点困难）。

师：我提供个思路，能不能往单项式乘多项式的思路上去想呢？

生3：我们可以将a+b看作为一个整体，此时它就可以作为一个单项式来理解，它就乘到c和d。

师：这位同学想法很大胆呀，这样理解行不行？

生4：对的。

师：大家想想他这种想法有没有依据，是我们数学中的一种什么思想？

生4：整体思想。

师：对的，还有没有其他的思想方法？

生5：转化思想。

师：体现在哪里？

生：将其中一个多项式看作一个单项式，题目就转化成了单项式乘多项式了。

师：这样做下来，是几个单项式相加？

生6：四项。

师：大家思考一下，如果前一个多项式里是两项，后一个里面是三项，那算下来又是几项？

生7：六项。

师：能说说你是怎么知道是六项的吗？

生7：将前面的多项式作为单项式来看，乘到后面就有了三个单项式乘多项式，此时单项式里又有两项，然后再分别相乘，不就是六个项了吗？

师：这位同学描述得很准确，讲得也非常好。如果是两个三项的多项式相乘，那最终又是多少项呢？

生7：根据刚才的推算方法，应该是三乘三，一共九项吧。

师：很聪明，如果前面多项式是m项，后面的多项式是n项，那么乘下来是多少项？

生7：m·n项。

师：大家认为他说的这个结论怎么样？

众生：对！

师：通过我们刚才的探究，我们通过多项式乘多项式再次学习了整体思想和化归思想。原来我们的数学思想就蕴含在我们平时的学习中，而不是考试的时候才会有的哟。谁来出几个计算题来巩固所学知识？

生8：计算：(1)(3x+1)(x+2)；(2)(x－8y)(x－y)；(3)(x+y)（x2-xy+y2）。

师：大家来观察分析下，他所出的这3道题是不是符合我们今天所学的“多项式乘多项式”？

众生：符合！

（接下来由学生独立运算，之后再进行展示讲评。）

2.教学片段2。

展示投影，一个学生计算如下：

(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)(3x+4y)

=6x2+3x·3y+2x·2y+6y2-3x2+4y·x-3y·3x-12y2

=6x2+9xy+4xy+6y2-3x2+4xy-9yx-12y2

=3x2+8xy-6y2

师：大家来看看这个同学的解题过程对吗？在这个解题过程中有哪些值得我们学习的，还有哪些需要我们注意的？

生9：不对！

师：哪里不对？

生9：他没有确定符号！

师：我认为他确定了符号呀，前面的两个多项式相乘确定了符号，后面的两个多项式相乘不也是确定了符号吗？

生10：我也认为他确定了符号，但是感觉又没有确定对，这种感觉是理解了但是又好像没有理解对。

师：这位同学在学习上出现了困惑，你能说说你感觉哪里的符号没有确定吗？

生10：两个积之间的减号好像没有参与运算。

师：你的直觉很好，哪位同学能帮忙一下？

生11：我觉得这道题可分为两个多项式相乘，然后将它们的积作差。

师：分析得很有道理，他将这个计算分为两步来处理，受他的启发，我们现在要怎样来处理这个问题？

生12：将后面的多项式作为整体来看。

师：这位同学说了用整体思想来帮忙，具体用什么形式来体现呢？

生12：用中括号呀！

师：你来给大家讲讲，怎么用中括号来帮忙？

生12：(3x+2y)(2x+3y)-［(x-3y)(3x+4y)］。

师：怎么样，大家会做了吗？但是我在下面还发现一个同学的第一步是这样做的：

解：原式=(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)-(3x+4y)

师：大家看一看这个做法怎么样？

生13：他去掉中括号是不对的，后面两个多项式是相乘的，而不是相加减，所以不可以这样做。应该将中括号内先做乘法运算，然后再去括号。

师：分析得很到位，现在大家明白一开始解题中的错误了吗？刚才不明白的同学现在知道自己的问题出在哪里了吧。最后，我们来看一下另一个同学的正确计算吧！

展示生13的解法：

(3x+2y)(2x+3y)-(x-3y)(3x+4y)

=6x2+3x·3y+2y·2x+6y2-（3x2+4y·x-3y·3x-12y2）

=6x2+9xy+4xy+6y2-3x2-4xy+9xy+12y2

=3x2+18xy+18y2

师：这位同学做得很详细、很规范。

二、关于“经历教学”的教学思考

1.开放需要放开，促进学生经历错误。

近年来开放式教学得到不少同行的关注和推介，相对于封闭教学而言，开放式教学需要教师转变观念，在课堂上敢于放开问题、放手让学生探索、信任学生有话可说。进一步来说，教师不能害怕学生说出来的一些错误或一些不规范的语言，可以通过更加细致周到的备课来预设各种可能的情况，从而大胆放开问题，让学生参与、表达他们的思考与发现，再根据学生的回答相机引导。

上面的课例片段1中，学生对“多项式乘多项式”法则虽然有所了解，但是还不深刻，这时就因势利导，引导其他学生参与辨析其表达过程中的不规范，让一个不严谨的表达通过师生的对话趋于完善和规范；在后来的例题环节，我没有给学生出例题，而让学生自主编题，从学生提供的一组例题来看，紧扣了课时教学和训练目标，又利用了学生的错误进行化错教学，实现了较好的经历错误的教学过程。

2.对话促进生成，引导学生明辨错误。

开放式教学对教师的教学基本功，特别是课堂驾驭能力提出了较高的要求，比如在问题开放之后，学生的解答可能丰富多样，如果教师理解不到位，或者对有些学生的精彩解答视而不见，往往会错失很多生成性资源。比如一些有价值的“错误资源”，如果简单地评判为错误，轻轻滑过，则是教学机智不够；或者是教师课前对学生可能的错误、不规范的预设和研判不够充分。我们常常见到一些专家教师在课堂上不但善于捕捉学生的错误，引导学生一起参与明辨错误，而且在学生解答都很顺畅的时候，还善于“装傻”，稚化自己的思维，假装追问学生一些易错的问题，让学生参与辨明。想来，稚化思维也是促进对话生成的一种教学技艺。

经历教学是一个很大的话题，我们学校各个学科都在深入研究，特别是学科教师结合课例开展了富有成效的教学探索，笔者也是结合一次教学展示课中的纠错环节有感而发，个性化成分较多，有些认识还很肤浅，期待同行的批评指正！

（作者为江苏省海安县海陵中学教师）

［1］丁义国.“经历教学”：让学生经历知识的发生［J］.初中生世界（初中教学研究），2015(2)：67-69.

［2］柳伟.让学生经历数学学习的过程［J］.现代教育科学：教学研究，2012(2)：177-177.

［3］顾继玲.让学生经历“数学化”的过程［J］.中学数学教学参考·中旬刊，2011(7)：2-4.

［4］刘祖洋.让学生经历数学化的过程[J］.数学教育学报，1997(3).

［5］于川.让学生经历“数学化”的数学教学策略［J］.数学通报，2011，50(5)：30-32.