儿童数量表征能力发展的追踪研究

吴晓超

（北京市丰台区丰台第二中学附属实验小学，北京 100066）

儿童数量表征能力发展的追踪研究

吴晓超

（北京市丰台区丰台第二中学附属实验小学，北京 100066）

研究主要探讨儿童在一年级到二年级间的数量表征能力的发展以及其与“数与代数”学习经验的关系。实验在2年内对60名儿童进行了2次0～100和0～1000的数字线估计任务的测量。结果显示，儿童的数量表征能力具有一定的发展规律：在0～100数量范围内，6岁时的数量表征能力能够预测7岁时的表征能力；在0～1000数量范围内，在6岁到7岁之间，儿童的数量表征准确性及数量表征模式发生了显著变化；“数的运算”能力与儿童数量表征的结果、策略及发展有关。另外，“数与代数”学习经验影响儿童数量表征的策略。

数量表征；追踪研究；数字线估计任务

1 问题提出

数量表征（numerical representation）指个体心理对数量刺激的解释、表达与操作的过程，既包含非符号数量表征也包含符号数量表征［1，2］。随着个体的发展，个体的数量表征逐渐呈现一种精确的表示方式，即线性表征［3］。线性表征是何时以及如何形成尚无定论［4，5］。许多研究者采用数字线估计任务对数量表征何时呈现线性模式进行研究［6］。数字线估计任务是给被试呈现一条数字线，线段的两端各自有一个数字，表示这条线段所代表的数字范围，让被试在线段上标出第三个数字所在的位置。该任务是将数字转化为数字线上空间位置的过程，包含给位置标数字 （position to number，PN）和给数字标位置（number to position，NP）两种模式，采用表征模式和估计精确度 （绝对误差百分比，percent absolute error， PAE）作为衡量指标［7］。已有研究结果显示，在一定数量范围内，随着年龄的增长，儿童的表征模式逐渐从对数或指数表征发展为线性表征，估计精确度提高；在同年龄被试中，数字线的数量范围越小，被试越可能采用线性表征，精确度越高。数量表征能力受到数学认知能力相关因素和认知加工相关因素的影响，与数学认知能力相关的因素主要包括数值范围、数数能力和比例知识，与认知加工相关的因素主要包括空间能力、工作记忆、反馈和锚定、估计策略的选择性和精确性、心理刻度的可变性等［8-10］。

研究者们提出了多种理论模型解释数量表征模式。这些理论模型主要有两个分歧点：第一，个体是否同时采用多种表征模式；第二，个体采用了哪种函数表征模式。“单一表征假说”认为个体在同一时段依靠单一规则进行数量表征，如Dehaene（1997）提出的“对数尺模型”认为估计数量与真实数量之间的差距会随着真实数量的增大而增大；Case和Okamoto（1990）提出的“线性尺模式”认为人们按照线性函数表征数字，但是这种表征只有到了一定年龄后才会出现；“存储器模型”（Gibbon＆ Chuerch 1981）认为数字及其它数量都是以相等的空间距离被表征，表征数的过程像是数数的过程，但每个数字的量的记忆是“杂乱无章”的，所以数字在被提取的时候会有变异性，数字越大，其变异性也越大，数字的变异性会随着数字的增大呈等级增长，这就是数字表征的 “等级可变性”（scale variability） 现象［1］Barth和 Paladino（2011）认为人们是以幂函数来表征数字的，因为数字线估计的关键属性是比例判断而幂函数才能最好地模拟根据比例判断所做的估计它具有高灵敏度，随着指数的改变幂函数的形状类似于对数和线性函数，能够概括两种表征模式［11］。“多表征假说”认为个体能根据具体情境，采用不同的表征模式，主要的理论模型包括多重表征假说、分段线性模式和循环幂函数模式。多重表征假说的前身是重叠波浪理论，认为任何年龄阶段的儿童都知道并可运用多种相互竞争的表征或策略、规则、方法，根据问题和数学情境选择相对恰当的表征方式［2，12］分段线性模式是一个改良型的估计模式，认为在数字估计中，儿童只存在一种由至少两条线段组成图像的表征模式，儿童在熟悉的数量范围，数字估计符合线性模式，在这个范围之外，估计仍然是线性的但是斜率线性度较之前小［3］；循环幂函数采用幂函数定律解释在估计过程中产生的各种偏差模式，认为刺激物中的参考点的选择在某种程度上决定了估计偏差模式的不同。

从中外对比的角度来看，我国儿童的数量表征更好地拟合线性曲线，这可能与被试的文化背景、教育经验有关。Dehaene等人的研究表明，文化教育是促进儿童由对数表征转向线性表征的主要原因，线性表征是教育及文化的产物，即教育经验有可能促使儿童由对数表征向线性表征转化［4］。“数与代数”是我国义务教育阶段数学课堂中的重要内容，第一学段的“数与代数”教学内容包含万以内数的认识、数的表示、数的大小、数的运算以及数量的估计等。数的大小的教学内容包括：理解数的顺序、大小关系并能用符号语言描述。小学第一学段的数的运算主要指算术，即研究数在加、减、乘、除、乘方和开方等运算下的性质的数学分支学科。我国现行的人民教育出版社、北京出版社、北京师范大学出版社等版本教材均在一年级完成了“百以内数的认识”的内容，即此阶段儿童具有学习“100以内数”的认知发展基础，且在完成此部分学习后，大部分儿童具备熟练地表征100以内数字的能力。各版本教材在二年级安排了“万以内数的认识”的教学内容，这说明教材编写者认为此年龄阶段儿童具备学习 “万以内数的认识”的认知发展基础，即在一年级到二年级的一年时间内，儿童数的表征能力不断发展，具有对万以内数准确表征的能力。那么儿童从一年级过渡到二年级的过程中，数的表征能力究竟是如何发展的？“数与代数”的学习经验是否真的能够促进学生数的表征能力的发展？

据此，本研究对60名学生进行了2年的追踪研究，探讨从一年级到二年级的发展阶段，儿童自身发展与学习经验对数量表征能力的影响。本研究由此提出假设：在此阶段，儿童的数量表征能力显著提高；儿童“数与代数”的学习经验会对儿童的数量表征模式产生影响。本研究设计实验探究以下问题：从一年级到二年级的过程中，儿童的数量表征能力是否显著发展？儿童的“数与代数”学习经验是否会对数量表征能力产生影响？儿童数量表征能力是否与“数的运算”能力相关？

2 研究方法

2．1 研究对象

为满足本研究假设，在第一次测验时儿童已经具备100以内数的认识及运算的学习经验，第二次测验时，儿童已具备万以内数的认识及运算的学习经验。本研究抽取了北京市一所普通公立小学60名儿童（男生30人，女生30人）进行为期2年的追踪研究。第一次测量时儿童均已经完成了一年级学习内容：“100以内数的认识”“100以内数的加法和减法”，平均年龄6．68岁；第二次测量时他们均已完成二年级学习内容 “万以内数的认识”“万以内数的加法和减法”，平均年龄 7．70岁。

2．2 实验材料

实验材料分为两部分，第一部分采用Siegler的研究中使用的数字线估计任务范式中的PN模式，第二部分为百以内数的运算能力测验或万以内数的运算能力测验。

第一部分实验材料为一本31页的小册子，小册子第一页为被试基本材料（性别、年龄、编号）。小册子第2～16页为0～100数字范围内的数字线估计任务，第17～31页为0～1000数字范围内的数字线估计任务。在0～100范围内数字线估计任务中有一条15厘米长的线段，线段左端标记为0，右端标记为100，中间无任何标记。在线段终点的左上方一厘米处有一个圆圈，圆圈里面有一个让被试估计的数字，除圆圈里面的数字外，每一页其他方面均相同。E-bersbach等发现1～25范围内的数字影响了7岁儿童的表征模式，因此任务选取了8个0～25范围内的数字：1、3、6、8、10、15、18、25。 为保证十位数间有一个数字，在26～100范围内选取了7个数字：37、42、55、68、75、81、98。 0～1000 范围内数字估计任务材料的线段右端标记为1000，其余均与0～100任务材料相同，在分析周广东等研究材料的基础上，选取了 0～150 范围内的 6 个数字（9、65、91、100、122、150）；151～1000 范围内的 9 个数字（179、246、366、423、548、683、754、818、975）。 Thompson 和 Siegler（2010）研究表明，150以下的低端数字在对数模型中鉴别性更高，而150以上的高端数字在线性模型中鉴别性更高，因此本研究在保证百位数间均有一个数字的基础上，较平均地保留了低、高端数字，以保证更好地区分对数表征与线性表征。数字出现顺序为，在范围内打乱数字的大小顺序，随机呈现数字。

“数的运算”是需要综合数量关系、运算符号等能力的高级数字能力，本研究为第一次测验的儿童编制“100以内运算能力测验”，为第二次测验的儿童编制“万以内运算能力测验”。试卷均包含100道口算试题和4道笔算试题，为保证测验的信度及效度，所有被试在20分钟内统一完成测验。

2．3 数据收集与处理

两次测验均采用相同过程：首先，由一名主试告诉儿童填写个人信息，然后完成测试。任务在小册子第2页到第31页，要求儿童根据任务要求作答，并告诉儿童任务完成情况不计入学习成绩。实验过程不允许用直尺，并提示注意第17页之后为0～1000的估计任务，其它无任何提示。由一名主试以直尺测量被试的估计结果，精确到毫米，再转化成估计值。在此任务完成两天后，被试完成“数的运算”测验任务，采用团体施测的方式，由一名主试告诉儿童填写个人信息，并根据题目要求作答，期间无任何提示。测验结果由一名主试参考标准答案评判，最终转化成百分制的得分。最后用Excel2016对数据进行录入和管理，结果采用SPSS18.0进行描述统计和相关分析，用MATLAB2014验证变量间关系。

3 结果分析

3．1 不同数字范围内儿童数量表征准确性的发展本研究检验被试数量表征准确性的指标为 “绝

对误差百分比（percent absolute error，PAE）”。 把每个被试对每个数字的估计长度转化为估计值 （估计长度等于起点0到被试标注估计数字所在位置之间的长度，估计值等于估计长度除以线段总长度后乘以被估计的数值范围），然后根据公式计算出PAE计算公式为：PAE＝│估计值－实际值│÷被估计的数值范围。PAE越大，儿童的估计差越大，准确性越差。 对两次测验中 0～100、0～1000的表征准确性PAE进行配对样本t检验，结果如表1所示。在不同数字范围内，第二次测验结果均显著优于第一次测验结果。

表1 数量表征准确性指标PAE比较

对两次测验中不同数字范围内的PAE进行相关性分析，发现在0～100的数字范围内，两次测验结果的相关系数为 0．3382，显著性水平为 p＝0．003，二者显著相关。为进一步探索儿童数量估计能力的发展过程，采用MABLAB工具对两次测验中的0～100范围内的估计结果进行曲线拟合，发现二者呈现二项式关系， 即 Y＝0．456X2＋0．1642X＋0．03467，其中自变量为第一次测验结果，因变量为第二次测验结果。根据曲线关系，在自变量取值区间内（0～1），因变量随着自变量的增加而增加。这说明在0～100估计范围内，儿童第一次测验结果能够预测第二次测验结果，且第一次估计准确度越高，第二次估计准确度也越高。在0～1000范围内，两次估计结果相关性不显著（p＝0．335），采用多种方法均无法探索出在0～1000范围内两次估计结果的稳定影响关系。

3．2 不同数字范围内儿童数字表征模型的变化

以实际呈现的数值为自变量，以儿童估计值的中位数为因变量，分别对两次测验中的0～100、0～1000范围内的估计进行了线性函数和对数函数的曲线拟合，探寻儿童的数字表征模型，结果如图1所示。

在0～100范围内，儿童第一次测验的数字估计均很好地拟合了线性函数（R2lin＝0．983），然而对数函数拟合亦达到显著水平（ R2log＝0．797）。在第二次测验中，儿童的数字估计结果均很好地拟合了线性函数（R2lin＝0．983），同时对数函数拟合亦非常显著（R2log＝0．896）。 为增加判定儿童采用何种表征形式的确定性，对线性函数、对数函数与估计中值差异进行了显著性统计检验。对两种模型预测值的绝对误差进行两两配对t检验，结果如表2所示。两次测验中线性模型显著好于对数模型，说明儿童在0～10数值范围内的估计能够更好地拟合线性模型。

图1 以估计中值为因变量的0～100、0～1000估计范围内曲线拟合图

表2 0～100范围内不同表征模式绝对差值比较

为进一步验证这一发现是否适合每一个被试的估计表现，对每一个被试的估计进行了曲线拟合。结果显示，在第一次测验中，98．36%的儿童线性曲线拟合达到显著水平，且90%的拟合系数大于0．7 100%的儿童对数函数曲线拟合达到显著水平，且67．7%的拟合系数大于0．7。在第二次测验中，100%的儿童线性曲线拟合均达到显著水平，且拟合系数均大于0．7；100%的儿童对数函数曲线拟合水平显著，83．3%的拟合系数大于 0．7。采用配对样本 t检验比较两次测验儿童对曲线的拟合程度，结果如表3所示。在两次测验中，线性拟合系数均显著优于对数拟合系数，同时第二次测验的线性拟合系数优于第一次测验，说明儿童在0～100的估计范围内采用了线性模型，且线性模型的准确性在提高。

在0～1000范围内，第一次测验的数字估计很好地拟合了对数函数，R2log＝0．920，不能很好地拟合线性函数，R2lin＝0．646。 结果说明，此时的儿童在 0～1000数值估计范围内的估计更适合对数模型的规律。第二次测验的数字估计能够显著地拟合线性函数 （R2lin＝0．944），同时也能较好地拟合对数函数（R2log＝0．868）。 为增加判定儿童采用何种表征形式的确定性，对线性函数、对数函数与估计中值差异进行了显著性统计检验，发现二者差异显著，t＝－2．844，p＜0．05。 结果说明，在第二次测验时，儿童在 0～1000范围内的数字估计更适合线性函数模型的规律。

表3 0～100范围内不同拟合曲线拟合系数比较

为进一步验证这一发现是否适合每一个被试的估计表现，对每一个被试的估计进行了曲线拟合。结果显示，在第一次测验中，85．0%的儿童线性曲线拟合达到显著水平，仅18．3%的拟合系数大于0．7；96．7%的儿童对数函数曲线拟合达到显著水平，且50．0%的拟合系数大于 0．7。 在第二次测验中，91．7%的儿童线性曲线拟合均达到显著水平，且58．3%的拟合系数均大于0．7；93．3%的儿童对数函数曲线拟合水平显著，68．3%的拟合系数大于0．7。采用配对样本t检验比较两次测验儿童对曲线的拟合程度结果如表4所示。在两次测验中，对数拟合系数均显著优于线性拟合系数，同时第二次测验的线性拟合系数显著优于第一次测量的线性拟合系数，说明儿童在0～1000的估计范围内更适合对数模型，但是线性模型的准确性显著提高。

表4 0～1000范围内不同拟合曲线拟合系数比较

3．3 “数的运算”对数量表征的影响

分别对两次测验中的0～100、0～1000范围内的数量表征准确性PAE和“数的运算”成绩进行相关性分析，结果如表5所示。“数的运算”测试成绩和0～100、0～1000范围的估计准确性均显著相关，且为负相关，说明“数的运算”测试越高，儿童在两个范围内的估计准确性越高。为检验“数的运算”成绩与数字估计模型的关系，对儿童的测试成绩与数字估计值的线性曲线、对数曲线的拟合指数（即R2）进行相关分析。结果表明，在第一次测验中，儿童的测试成绩与0～1000范围内数值估计线性曲线拟合指数显著相关，即儿童“数的运算”测试成绩越高，0～1000范围内的数字表征的线性拟合指数越高。在第二次测验中，儿童的测试成绩与0～1000范围内数值估计线性和对数曲线拟合指数均显著相关。进一步通过MATLAB工具探索变量之间的关系，未发现具有显著性特点的函数关系，即“数的运算”测验成绩无法预测儿童数量表征的准确性或表征模式。

4 讨论

在第一次测验时，本研究的被试仅具有“100以内数的认识”的学习经验，在0～100内的数量表征准确性显著高于0～1000范围内的数量表征准确性；被试在0～100范围内的数量表征整体上很好地拟合为线性函数，并且绝大多数被试均采用数的线性表征，在0～1000范围内的数量表征拟合对数函数。在第二次测验时，被试具有“万以内的数”的学习经验，此时他们在两个数字范围内的数量表征准确性均显著提高，且大部分儿童的数量表征均拟合线性函数，以上结果均说明儿童的“数与代数”学习经验能够对数量表征产生影响，这与潘茂明追踪分析6～7岁儿童数量估计能力发展后得出的研究结果一致。

研究发现儿童对0～100范围内数量表征的准确性能够有效地预测第二次测验时0～100范围内数量表征的准确性。这体现出在6～7岁的年龄阶段且在无针对性的学习经验的影响下，儿童的数量表征能力的发展是连续性的。在0～1000的范围内，儿童获得了针对性的学习经验，从而在数量表征准确性上发生了显著性的变化并且无相关性，这说明在有相关学习经验的影响下，学生的数量表征能力的发展是非连续性的。这与皮亚杰对于认知发展的描述是吻合的，即“认知发展是连续性与非连续性的统一”，同时也说明了学习经验对于儿童认知发展的促进作用。

表5 “数的运算”测试成绩与估计准确性PAE、线性、对数函数拟合度的相关分析

与预期一致，儿童数量表征与自身运算能力相关，这与 Booth 等［7］、Laski等［8］、Siegler 等［11］的推测一致。他们认为心理数字线是整数的中心概念，并且对儿童的数量表征、数字运算等数学任务至关重要，是它们共同的心理基础。因此在实验数据上，儿童的数量表征与运算能力会出现显著相关的现象。本研究发现，除了共同心理基础之外，儿童的运算能力可能会在表征测量方面影响儿童的数量表征，运算能力强的儿童可能具有更多的数量表征的策略。如在1～100数字范围内估计15的位置，运算能力强的儿童可能以“10＋5”的形式将数字分解，并用两个步骤完成表征任务，即先估计10的位置，以10的位置为起点，再估计5。许多研究已经表明，幼儿阶段可以形成对10以内的线性表征［3］，因此这种表征方式会更加准确。通过事后访谈，发现两次测量中，均有部分儿童采用了这种策略。同时这种策略在0～1000的数量估计范围内依然存在，且事后访谈发现，在第二次测量时，部分儿童“升级”了此策略。如在0～1000范围内估计数字366时，儿童首先将数据线分为10份，估计其中3份到4份的范围；再在此范围内估计50的位置；通过“50＋16”完成最后的数字估计。这一策略体现了以下三个方面的能力：儿童理解“千”与“百”的关系；儿童能够有效比较数的大小，并能够准确地在百的范围内估计数字；儿童能够自觉地将小范围的数字估计能力迁移至大范围的数字估计任务中。

5 结论

本研究可以得出以下结论：（1）儿童在一年级到二年级的发展过程中，0～100和 0～1000的数字线

估算任务的精确化估计得到了显著提高，0～1000数字线估算任务完成了从非线性化到线性化的转变；（2）儿童的数量表征能力是连续性与非连续性的统一；（3）儿童的数量运算能力影响数量表征方式，且这种影响在不同的年龄阶段是稳定的；（4）儿童的数概念学习经验会对数量表征策略的使用产生影响。

1 潘茂明．6－7岁儿童数字估计能力发展的追踪研究．首都师范大学硕士学位论文，2011．

2 王澜．5－6岁儿童数字线估计能力及其与早期数学能力发展关系的追踪研究．首都师范大学硕士学位论文，2013．

3张帆，赖颖慧，陈英和．儿童数字线表征的发展——心理长度的影响．心理发展与教育，2015，（2）：149－156．

4 莫雷，周广东，温红博．儿童数字估计中的心理长度．心理学报， 2010， （5）： 569－580．

5 Siegler R S， Ramani G B．Playing linear numerical board games promotes low－income children’s numerical development．DevelopmentScience， 2008， 11 （5）：655－661．

6 周广东，莫雷，温红博．儿童数字估计的表征模式与发展．心理发展与教育， 2009， 25（4）： 21－29．

7 Booth J L， Siegler R S．Developmental and individual differences in pure numerical estimation．Developmental Psychology， 2006， 42（1）： 189－201．

8 Laski E V， Siegler R S．Is 27 a big number？ Correlational and causal connections among numerical categorization， number line estimation， and numerical magnitude comparison．Child Development， 2007， 76：1723－1743．

9 Opfer J E， Siegler R S．Representational change and children’s numerical estimation．Cognitive Psychology，2007， 55： 169－195．

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11 Siegler R S， Thompson C A， Schneider M．An integrated theory of whole number and fractions development．Cognitive Psychology， 2011， 62（4）： 273－296．

12 Siegler R S， Opfer J．The development of numerical estimation： Evidence formultiple representations of numerical quantity．Psychological Science， 2003， 14（3）： 237－243.

A Longitudinal Study on Development of Numerical Representation

Wu Xiaochao
（Affiliated Experimental Primary School of Fengtai No．2 Middle School of Fengtai District， Beijing 100166）

In order to explore the development of the numerical representation， the study examined 60 children’s performance in the 0～100， 0～1000 number line estimation tasks twice in 2 years．The results showed： （1） There was a certain law of the development on numerical representation.In the 0－100 number line， the numerical representation in age 6 could predict that in age 7．And there were significant differences on numerical representation between age 6 and age 7 in the 0～1000 number line． （2）The operational capability affected the numerical representation．（3） Strategies of numerical representation was influenced by learning experience of “number and algebra”．

numerical representation； longitudinal study； number line estimation task

吴晓超，女，二级教师，硕士研究生。Email：1376909587@qq.com