奇思妙想巧运算——学生数学运算素养培养的实践与思考

江西省南昌市东湖区教研中心 (330008)

周 蓉

奇思妙想巧运算
——学生数学运算素养培养的实践与思考

江西省南昌市东湖区教研中心 (330008)

周 蓉

“奇思妙想巧运算”是南昌市第八届园丁杯初中数学指定课题.在谈论教育立德树人，培养学生核心素养如火如荼的今天，选择一个这样的比赛课题既基于《义务教育数学课程标准(2011版)》中的十个核心概念“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识”的数学素养培养意义，也对接高中课程标准修订组按照内涵、价值和表现的框架提出的六条数学核心素养“数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析”培养目标.那么怎样践行“数学运算”，如何在中学起始年级培养学生“数学运算”核心素养，怎样在数值运算、代数运算中让学生体会“数学运算”是满足学生终身发展和社会发展所必备的、关键的数学素养，如何扣紧课题在运算中体现“奇思妙想”和“巧”的价值是这节课的重点和难点.经过研究、思考，笔者把巧定位在了追求算理算法之巧——不盲目运算，培养观察的角度，研究运算的合理性，寻找一般性方法，培养学生的一般性能力.

一、教学回顾(择其过程略讲)

1.情境引入，激发思考

教师用动画片形式《大雄的烦恼》设计了大雄在运算中遇到的困惑，感受到有理数巧运算思维的艰难，并形成数学思考，引入课题，引导学生思考“机器猫”倒序相加方法巧的探寻方式和运算奥妙.

设计意图：倒序相加是高中数列求和的内容，本节课设计这个引入立意不是让学生用“高级”的运算方法去解决初中可能遇到的问题，而是让学生体验运算中蕴含的“数感”，在发展数感的基础上夯实运算能力.

2.实践探索，感悟提升

体验一：列举一些课本已学经验中的巧运算，看谁算的又快又准.其中方法主要有凑整、分类、运用加法、乘法公式等.

设计意图：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.在这组题中，学生实际经历理解(运算对象)、掌握(运算法则)、选择(运算方法)、计算(运算结果)等步骤.学生的速度和准确度区别就是运算能力的高下区别，个体在思考问题时在数学方面的自觉意识或思维习惯反映出学生的数学意识.

体验二：未知情况下寻巧之路的行与思.

例1 计算：15+196+1997+19998+199999.

变式：计算0.9+0.99+0.999+0.9999.

例4 计算2+22+23+…+2100.

设计意图：《高中数学课程标准(2016试行稿)》中提出：数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.在学生运算能力的培养过程中，题目只是个载体，它承载的是培养学生数感、数学意识的发展作用.学生的数学意识，它包括数的意识，如对数的意义的理解；用数进行交流；算法的选择；数值的估算与解释等.从这些有规律的数字运算中引发“奇思妙想”，体会巧需要发现和建构，让学生在转化中渐悟其巧.运算的转化是从复杂的运算背景向简明的运算结果推理逼近的一个过程.

3.课堂小结，课外延伸

师生共同归纳得出奇思妙想寻巧之路的“脑电图”可以总结为：观察问题的特征；唤醒已有学习经验；构思巧算的策略；沉淀学习的积累.

教师分三个层面布置课外作业：

放飞性作业：推荐两本课外阅读书：《数学.启迪智慧》，张国栋.中国文史出版社；《奇思妙想学数学》，格雷斯.马卡罗内.外语教学与研究出版社.

设计意图：给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间.课堂的小结是方法的提炼，而学生真正运算能力的提高还需要其它各方面数学能力的共同提高.“放飞性”作业的布置就是基于此想.

二、课例特点分析

《义务教育数学课程标准(2011年版)解读》中关于运算能力有这样的解读：根据一定的数学概念、法则和定理，由一些已知的量得到确定结果的过程，称为运算.能够按照一定的程序和步骤进行运算，称为运算技能.不但会根据法则、公式等正确地进行运算，而且理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径，称为运算能力.本节课上，运算能力的培养体现在师生一系列的分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，确定运算程序，包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算以及实施运算和计算的技能培养方面.

笔者给出的第二组例题，教学中不是在教学生寻找特殊运算的技巧，因为这种技巧在计算机时代属于小境界小视野.而是强调观察，在普遍性的数字中，不盲目运算，(通过观察)探寻合理的运算方向、选择运算程序、调整运算策略，从方法考虑运算的合理性、一般性.当然，运算设计上还是有不足，比如例1中的加数依次比10的倍数少5、4、3、2、1，思维导向的痕迹太重，生活实践中几乎是不存在这样的数的.我们应该理解任何一个数都可以分成两部分：主体部分、次要部分，写成(a+b)的形式，数学中的巧不是数字之巧而是思维之巧.而例4的学习过程，这是最难构造的一道题，这道题和高中的数列知识相衔接，从知识的角度和方法的教学看是一道好题，这道题需要老师放慢一些.而放慢则时间不足，快则成了操练，在同课异构“有理数的巧运算”中，我们多看到的是思维太少，操练太多.从中西教学此题比较来看，美国嫌太慢，中国则太快.这道题真正自己发现、想到方法是一个很难的过程，需要足够长的时间，中国孩子多是学过，而不是发现.在这类题上，知识和技能可教，真正自己观察、寻找到方法却是非常之难.而教学中我们要培养什么？方法背后的思维！养成观察方法，研究算的合理性，从一般的方法中去选择.我们常说理解数学知识的三重境界是“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”——启发学生，示以思维之道耳！

三、运算能力与其它数学素养的融合

学生的学科素养是一个综合培养的过程，运算素养的培养我们还能走得更远吗？能.以例4举例，我们借助数学图形，建立数学模型，用逻辑推理的方法进行思考，给出变式练习.

图1

实验操作过程：取一张正方形纸片，设它的面积为1.

第3次折叠，把上次折叠图中空白部分的面积继续三等分，……；

图2

从解析的过程看，数形结合、转化起了关键的作用.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学中，数和形是两个最主要的研究对象，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

从最广泛的意义上来理解数学的话，它就是研究两个问题：数和形.数与形是数学大厦最深处的两块奠基石，它们之间有着十分密切的联系，全部数学都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的.两者在内容上互相交叉，在方法上相互渗透、补充、并在一定条件下互相转化，这两种形式的转化，数学中叫做数形结合.在数学教学中培养学生数形互相转化的观念、意识具有重要的意义.

四、结束语

运算能力的培养从来都不是一朝一夕的.我们不指望用一节课去培养学生的一种能力，但我们希望能用一节课去培养学生一种选择运算方法的能力的意识.优秀学生的“会运算”是因为他们能通过观察问题的特点，迅速抓住问题的本质，产生联想，发现解决问题的途径或者选择最优的解题方案.笔者在本课时资源上设置不同类型的巧，就是希望有不同的数学模型，让学生经历这种观察、实验、猜测、计算、推理、验证的活动，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.