初探初中数学开放性题目的编制

曾令山

【摘要】加强数学开放题教学，适当改变教材中的题目，使原来封闭题变为开放题，有助于充分发挥学生的主体性，使学生自觉地，主动地直接参与思维的全过程变“维持性学习”为“创新性学习”。教师要创造性地使用教材，注重一题多解，一题多变，多题一解得思维训练，让学生感受知识的新鲜感，创新思维得已发展。

【关键词】开放题；题型；编制

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）16-0110-02

充分挖掘教材，编制开放性题目，随着新深程改革的推进，中考改革也不断深入，开放题的出现对数学教师提出了更高的要求。开放题的教学有利于培养学生的教学意识，有利于调动学生的学习主动性和积极性，发挥学生的主动和创造性，提高学生的创造能力，但是目前教材中的例题及习题大部分是封闭型的，这样如何得到更多的开放题是教师在教学述程中碰到的一个实际问题，在教学中学会编制开放型题目显得尤为重要，下面通过例子说明怎样利用现有教材编制开放型数学题。

一、利用概念的内涵编制

由于某些数学概念具有丰富的内涵或等价表述，利用这些进行设问，可得开放题。如“全等三角形”有丰富的内涵定义，利用它们可编制条件开放题，当△ABC与△A`B`C`满足________________________时，△ABC≌△A`B`C`（只需填上你认为正确的一种条件即可）。

二、利用原命题的逆命题编制

对一个命题当从正面考察完了之后，研究一下它的逆命题是否成立或在什么条件下成立，便可得到一些开放题。

例1、△ABC中，D是AC上一点，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°计算∠ABD和∠BDC度数，并说明图中有哪些等腰三角形（人教版初中《几何》第2册第6页例2）考虑它的逆命题可编制：已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成两个小三角形，也都是等腰三角形，问：△ABC的各角度数可能是多少度。

三、保留条件，开放结论

例2、已知Rt△ABC中，CD是斜边上的高，求证：△ABC∽△CBD∽△ACD（人教版初中《几何》第二册第226页例2）。

只保留原命题的条件，探索会得到哪些结论，使其多样化，可编制开放题：已知Rt△ABC中CD是斜边上的高，根据上述条件结合图形，写出你能得到的结论，并加以证明。

四、减弱条件，探索一般性结论

对一个命题，若减弱其一项或几项条件之后，研究它有什么更一般的结论可得到一些开放题。

例3、已知⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1与⊙O2的公切线，BC为切点，求证AB⊥AC（人教版初中《几何》第三册第114页例2）若减弱条件可得开放题：⊙O1和⊙O2相离（或相交）BC是⊙O1与⊙O2的公切线，B、C为切点，连心线O1O2分别交⊙O1、⊙O2于点MN，问BM、CN位置关系如何？

五、增强条件，开放结论

有已有条件的基础上再增加条件，要求选择部分或全部条件达到目的可得一些开放题。

例4、有浓度30%的酒精与浓度60%的酒精混合，制成50%的酒精30kg，前两种酒精各阶层使用了多少？（义教版初中《代数》第一册（下）第34页练习3）。

增补条件仍可编出：现有浓度30%的酒精20kg，60%的酒精25kg，足够的纯酒精和水，要制成50%的酒精30kg，请你设计配制方案。

六、条件变式，探求结论的存在性

将给定的题设条件作某些变化，考虑结论是否存在，可得一些开放题。

例5、已知一个二次函数的图象经过（0，0）、（-1，-11），（1，9）三点，求这个二次函数的解析式（义教版初中《代数》第三册第130页练习2）。将题目中过（0，0）条件变为对称轴为y轴，得到以下开放题：已知点A（-1，-11），B（1，9）两点，试判断是否存在对称轴为y轴且经过A、B两点的抛物线，若存在求此拋物线解答析式，若不存在，说明理由。

七、保留结论，寻求条件

隐去部分条件或提示语，要求寻找使结论成立的充分条件可得一些开放题。

例6、已知△ABC中，P是边AB上的一点，连结CP（1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC，（2）AC：CP满足什么条件时，△ACP∽△ABC。（人教版初中《几何》第二册第233页例5）。

隐去（1）、（2）中的提示语有：已知△ABC、P为AB上一点，连结CP，问图中有无两三角形相似，需增加什么条件？

八、加强结论，追加条件

对一个命题，对其结论进行加强，以研究得出这个结论需增加什么条件，可得到一些开放题。

例7、已知四边形ABCD的对角线相交于点O，EF经过点O，与AB相交于E，与CD交于点F，G，H分别是AO，CO的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形（义教版初中《几何》第二册P91复习题四第六题）。

若对本题结论“平行四边形”进行加强可得：已知四边形ABCD的对角线相交于点O，EF经过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH分别是AO和CO的中点，问：还需追加什么条件，四边形EFGH是菱形？是矩形？是正方形？

九、引入参数，寻求一般规律因子

例8、把X?-7X+6分解因式（义教版初中《代数》第二册第34页例2）引入参数可编制如下开放题：要使二次三项式（1）X?+mX+6（2）X?-7X+n在整数范围内能够进行因式分解，m，n可以取哪些值？

加强数学开放题教学。

开放题是数学开放式教学的载体，开放式试题呼唤开放式教学，作为数学教师，应该把开放式教学作为培养学生创新思想的重要内容，在数学教学中课本例题教学不仅要分析解决问题的思路，还应通过对问题多角度的深入审视，将原问题引申为能动促使学生主动、活泼的学习，并能激发数学创新思想的活动，恰到好处地适当改变课本某些题目，使原来封闭题变为开放题，有助于充分发挥学生的主体性，使学生自觉地，主动地直接参与思维的全过程变“维持性学习”为“创新性学习”。

数学是一门思维科学，它在训练学生思维方面是其他学科无法替代的，创造性思维是数学中最可贵的，层次最高的思维品质，它是创造力的核心。开启学生的创造潜能，培养学生的创造性思维，既是新世纪人才培养的要求，又是当前数学教学改革的主旋律。作为中学数学教师，在数学科学中，以开放题为载体，让学生进行开发思维训练，是当前数学课堂教学的着眼点，教师要创造性地使用教材，既注重一题多解，一题多变，多题一解得思维训练，又要打破教材中所涉及的命题大都是给出条件和结论，让学生去判断，推理、证明这一常规模式，设计一些是具有不确定性非唯一结论的问题：条件不是很清晰，完备，需要（下转186页）（上接110页）探寻和补充的问题：现实性强，容易调动探究热情的问题，让学生在对开放题的探索中，思维得到锻炼创造思维得到发展。

参考文献

[1]李昭平《对21世纪初中数字教育的几点思考》、《教育实践与研究》（石家庄）.

[2]孟祥东、谢印智《2004年各地中考试题新特点》、《中学数学杂志》.

[3]梁祥居《初中数学开放题合议》、《福建中学教学》.

[4]曾沐斌《开放性数学型及解法探究》、《中学教学月刊》.

[5]郑敏信《再论开放题与开放式教学》、《中学数学教学参考》.endprint