非正弦情况下主要无功功率测量方法的对比研究

余恒洁，王昕，黄炜，游若莎

（1.云南电网有限责任公司，昆明650011；2.云南电网有限责任公司电力科学研究院，昆明650021）

0 引 言

无功对供电系统和用电设备的正常运行起到重要作用，但是无功在电网中流动会引起供电电压变化和线路损耗［1］。因此，电力用户从电网吸收以及电网传送的无功电量都需要进行计量考核。同时，电力电子技术的快速发展，使得大量非线性负载如PWM调速装置、大功率整流器等被应用于各种电子装置和工业现场中，这些负载造成电网的电能质量日趋恶化，对无功计量提出了新的技术要求［2－4，12］。

目前，电能计量领域广泛应用的无功功率计算方法有：基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert滤波器法。基波移相90°和微分法易于实现，正弦信号情况下无功测量精度高，但是非正弦信号的情况时性能明显变差，严重时会得到错误的无功功率［5，7］。FFT法通过分析非正弦信号的各次谐波分量进而得到各次谐波无功，最终求得总无功，但是该方法在非同步采样时存在较大误差，需要额外增加加窗处理才能实现高精度的无功功率测量［1，4］。Hilbert滤波器法在宽频率范围内，能对电压或电流信号的各次频率分量进行准确的90°移相，从而实现非正弦情况下高精度的无功功率测量，而且相对FFT法而言更易于实现［10］。

基于以上分析，本文首先剖析了无功功率在正弦和非正弦情况下的定义，并对基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert滤波器法等无功功率算法进行了分析和研究，尤其深入分析了各种方法在非正弦情况下的理论精度，由此比较了各种算法的性能优劣。我们同时对各种算法的软件实现方法进行了研究，并对相关算法进行资源优化使其适用于嵌入式实时平台，进一步提高各算法的性能。最后以基于DSP的高性能三相表为测试平台，对各无功算法进行了准确度对比测试。本文的研究成果可对各种无功算法的优化设计以及在电能计量领域的应用具有重要的指导意义。

1 无功功率的定义

正弦系统中无功功率的定义Q＝UI sinθ已经为大家所公认，但在非正弦情况下，无功功率如何定义、如何计算，至今尚未完全解决。目前关于非正弦条件下无功功率的定义，主要有三种学派：一种是Budeanu定义采用频域分析法，其定义已写入ANSI/IEEE标准1459-2000［6］；另一种是 Fryze定义采用时域分析法，被国际电工协会IEC推荐使用；还有一种是Akagi提出的瞬时无功理论。

以上三种无功功率理论都存在各自的局限性：Budeanu无功理论只是在某种程度上与传统功率理论相同，用于实际的无功计量、补偿时还存在缺陷；Fryze对无功补偿在理论上有很大的指导作用，在实际测量中也很容易得到应用，但是其物理意义不明确；Akagi瞬时无功理论在有源无功和谐波补偿中发挥了重要作用，但在理论上还存在局限性，与传统理论的关系不够明确。

虽然Budeanu定义无功功率方法颇具争议，但这种定义方法在一定程度上仍被大众所接受，目前绝大多数仪表厂商都是依据该定义进行无功计量。

Budeanu定义无功功率为各次谐波分量无功的总和，且首次引入失真（畸变）功率的概念，如下所示：

式中P为有功功率；QB为无功功率，为各次谐波无功的总和；DB称为失真（畸变）功率，并没有明确的物理意义，是由非同次谐波之间耦合形成的无功功率；Uh，Ih分别为h次谐波电压、电流的有效值；θh为h次谐波电压与电流间的相位差。

2 无功功率的计算方法及理论精度分析

2.1 基波移相90°

基波移相90°的原理是将电压或电流信号移相90°，然后计算瞬时无功功率在一个周期内或整数个周期内的平均值得到无功功率，用表达式描述如下：

由上式可知，正弦条件下该方法计算的无功功率在理论上不存在任何误差。

将上式写成离散形式：

式中N为每周期采样点数；k为周期数；u（n），i（n）分别为电压和电流的第n个采样点值。

由以上离散表达式不难看出，当N/4不是整数时计算误差会较大。

在非正弦条件下，即电压和电流波形严重畸变时，该算法的计算结果如下：

可以看出，在非正弦条件下，利用90°移相法得到的无功功率不等于Budeanu定义的无功功率，而是奇次谐波无功功率和偶次谐波有功功率的合成，因而计算误差较大。

2.2 微分法

微分法的原理是将电压或电流信号进行微分，然后计算瞬时无功功率在一个周期内或整数个周期内的平均值得到无功功率，用公式描述如下：

由上式可知，正弦条件下该方法计算的无功功率在理论上不存在任何误差。

在非正弦条件下，即电压和电流波形严重畸变时，该算法的计算结果如下：

可以看出，在非正弦条件下，微分方法得到的无功功率不等于Budeanu定义的无功功率，而是各次谐波无功功率的加权求和，其中权值为谐波次数。显然，谐波次数越高，利用这种方法计算无功的误差将成比例增大。

2.3 Hilbert滤波器法

Hilbert滤波器是幅频特性为1的全通滤波器，而且信号通过Hilbert滤波器后，在负频率（－π，0）作 ＋90度相移，在正频率（0，π）作 －90°相移。

根据Hilbert滤波器的性质可知，非正弦信号u（t）＝∑Uhsin（hωt＋ah）经 Hilbert滤波移相变为（t）＝∑Uhsin（hωt＋ah）＋π/2经 Hilbert，此时瞬时功率的整数周期内的平均值计算如下：

容易看出，在非正弦情况下，利用Hilbert滤波器将各次谐波电压分别移相90°后求得的周期平均功率就是Budeanu定义的无功功率，也就是各次谐波无功的代数总和。该计算结果同样适用于正弦信号，只是此时只有基波无功功率。

2.4 FFT法

FFT法的原理是通过分析非正弦电压、电流信号的各次谐波分量进而得到各次谐波无功功率，最终求得总无功，该方法计算的无功功率就是Budeanu所定义的无功功率，但在算法实现上相对其他方法复杂很多，且只适用于周期性稳态信号。

对电压、电流信号采样能够得到长度为N的有限长序列x（n），其离散傅立叶变换（DFT）为：

式中 X（k）为第k次谐波分量。

根据傅里叶级数的离散化公式和DFT的关系［8］，得到第k次谐波分量的幅值Ak和相位φk如下：

因此，可以通过离散傅立叶变换求得电压、电流信号的各次谐波幅值和相位，并计算出各次谐波无功功率，从而通过Budeanu定义计算总无功功率。DFT算法的计算量大，但DFT算法的蝶形因子具有对称性，可以据此对算法进行优化，进行快速傅立叶变换计算（FFT），可以满足实际系统的要求。

2.5 各种无功计算方法的优劣比较

以上各种无功功率计算方法优劣比较如表1所示。同时，通过以上分析和讨论，可以得到：在非正弦情况下，除了利用Hilbert滤波器法和FFT法可准确计算得到无功功率，其它方法如基波移相90°和微分法的计算误差均较大。

表1 各种无功功率计算方法优劣比较Tab.1 Comparison of advantages and disadvantages among different reactive power calculation methods

3 主要算法设计及无功测量实现

3.1 基波移相90°的改进及无功测量实现

针对采用基波移相90°计算无功时存在的计算精度受非同步采样和频率变化影响的问题，提出了一种改进方法：当1/4周期不是采样间隔的整数倍时（即N/4不为整数），对经过整数个采样点平移的电压通过FIR数字滤波器进行移相补偿，使电压准确移相90°，从而实现无功功率的准确计算。

基于改进基波移相90°法，前文描述的基波移相90°法的计算公式则相应地修改为：式中N是一个周期内的采样点数；［N/4］表示1/4周期内的采样点数，即对N/4取整；β为FIR滤波器的延迟增益；A－1为增益补偿系数。相关参数的计算请参考文献［9］。

3.2 微分法离散化设计及无功测量实现

由于电压信号比较稳定，应用微分移相法时通常是对电压信号进行微分。微分数字化采用中值微分的方法，如下所示：

式中ω为基波角频率；Δt为采样间隔时间。

3.3 Hilbert滤波器设计及无功测量实现

Hilbert滤波器采用IIR型滤波器实现。IIR型Hilbert滤波通常采用两组数字移相滤波器F1和F2分别对电压、电流信号进行移相滤波。IIR型滤波器可以根据不同的原理来进行设计，可以通过全通滤波器来设计IIR型Hilbert滤波器，也可以由半带滤波器设计IIR型Hilbert滤波器。经过分析，我们发现将两者结合起来即由椭圆半带滤波器设计IIR型Hilbert滤波器，能够在宽频率范围内获得更高的幅值精度和相移精度，而且具有阶次较低、计算量和数据存储量较小的优点［11］。

根据无功计量精度和硬件平台要求，设置Hilbert滤波器归一化数字频率范围［0.006，0.994］，Fs＝12 800 Hz，则Hilbert滤波器的有效带宽为38 Hz～6 362 Hz，在相移误差不大于0.006°的条件下，设计的移相滤波器F1、F2的传递函数如下所示：

根据设计的 HF1（z）和 HF2（z），得到 Hilbert滤波器的幅相特性如图1所示。

图1 Hilbert滤波器幅相特性Fig.1 Amplitude phase characteristics of Hilbert filter

从图1中的（a）和（b）可以看出，在频率范围38 Hz～6 372 Hz内，滤波器增益接近0 dB，相位保持在－90.006°～89.994°范围内，即设计的IIR数字滤波器满足无功计量精度需要。同时所设计的Hilbert滤波器采用定点的二阶级联结构实现，提升了运算效率，可以满足实际系统的要求。

3.4 FFT算法改进及无功测量实现

FFT方法要求波形的周期采样点数N满足N＝2n，才能保证较高的分析精度，因此实现同步整周期采样是保证无功测量精度的前提。但实际使用中，电压电流采样一般采用固定采样率模式，因此电网频率的波动会导致非同步采样的结果，此时通常采用加窗方法来解决频谱泄露问题，但这无疑大大增加了数据运算量，不适用于电表平台。针对与此，本文采用了一种基于插值重采样同步化的改进FFT算法。该方法的思想是在截取M个非同步采样点的基础上构造整周期的N个理想同步采样点，即通过在时域上采用插值方法得到近似理想同步采样点序列。

插值算法最常用的是线性插值法。假设理想的周期采样点数为N，实际的周期采样点数为M，实际的采样点值为S，插值后的采样点值为S′，线性插值的流程为：

（1）求取M，设定N；

（2）求取每个点需要平移的量Δ＝（M-N）/N；

（3）判断（n-1）·Δ的大小，整数部分为 p，小数部分为q；

通过循环执行上述步骤，直至n＋p＋1≥M，可以得到全新的插值序列S′，该序列的长度为N。然后对序列S′进行FFT分析从而计算无功功率。

基于插值重采样的改进FFT算法，即使在非同步采样下也可得到完整周期并且适用于FFT的数据序列，这有效抑制了频谱泄露和栅栏效应的误差，并且运算效率高。

4 对比测试与结果分析

将上述设计的几种无功算法统一在某公司关口表平台（电表规格型号为：DTSD341－MA2，3×57.7/100 V，3×1.5（6）A，20 000 imp/kWh）上实现，从而对各种算法进行准确度对比测试，评判各种算法的优劣。为更好的比较各种算法的性能，尤其是在非正弦信号情况下的计算精度，对比测试包括无功基本误差试验，谐波影响量试验。

无功基本误差测试结果分别如图2所示。

谐波影响量测试采用某公司的ST9500-C高精度谐波测试校验装置进行，试验条件如下：

（1）基波电流为 0.5 Imax，基波电压为 Un，基波功率因数为1.0；

图2 各种无功算法基本误差测试结果Fig.2 Basic error test results of different kinds of reactive power algorithms

（2）试验是在基波的基础上叠加单次谐波（谐波电流、电压为同次谐波），其中各次谐波电压含量为10%，谐波电流含量为40%，谐波功率因数为1.0；

（3）谐波的次数为2～50。

谐波影响量测试结果如图3所示。

图3 各种无功算法谐波影响量测试结果Fig.3 Harmonic effect test results of different kinds of reactive power algorithms

从以上测试结果可知，在正弦信号情况下，基波移相90°、微分法、FFT法和Hilbert滤波器法的误差数据均在0.05%以内，即接近于0，这与各算法的理论分析结果完全一致。

针对非正弦信号下的测试结果，分析如下：

（1）FFT法的误差数据相对其他方法最优，在叠加1～39次谐波时误差小于0.06%。这是因为该方法在进行谐波分析时对硬件采样电路引起的基波和谐波相位差均做了补偿处理，从而谐波性能最优；

（2）基波移相90°法在叠加4n＋1次谐波时的误差数据较好，而在其他情况数据极差。这与该算法的理论分析结果一致，由算法本身性质导致；

（3）Hilbert算法的谐波性能优越，能够准确计算谐波无功，然而Hilbert法的误差随谐波次数递增而逐渐增大，最大达0.4%。这是因为在该方法中针对硬件采样电路引起的相位差所设计的相位补偿器影响了整个移相系统的幅相特性，从而导致Hilbert滤波器在谐波情况下无法发挥出优越的性能；

（4）微分法在叠加谐波情况下的误差数据让人无法接受，5次谐波试验时误差就已经达到20%，且误差随谐波次数增大成比例增大。这与该算法的理论分析结果一致，由算法本身性质造成。

5 结束语

论文首先依据无功功率的定义，对基波移相90度，微分法，FFT法和Hilbert滤波器法等无功功率计算方法开展了研究，分析结果表明在非正弦情况下只有FFT法和Hilbert算法能够得到Budeanu定义的经典无功功率。在此基础上，我们同时对各种算法的软件实现方法进行了研究，并对相关算法进行资源优化使其适用于嵌入式实时平台，进一步提高了各算法的性能。最后我们以高性能三相表为测试平台，对各无功算法进行了准确度对比测试。

测试结果和数据分析表明：在正弦情况下，无功计算宜采用微分法或基波移相90度；在非正弦情况下，可采用FFT法或Hilbert滤波器法计算无功。本文的研究成果对各种无功算法在优化设计和电能计量领域的应用具有重要的指导意义。