以“数形结合”为例浅析如何利用数学思想解决数学问题

唐恬悦

【摘要】在解答数学问题中，数学思想的运用尤为重要，只有运用合理的数学思想，才能更高效地解答数学问题。很多学生在学习数学知识感到束手无策，而有的学生则为数学迷，为数学狂，究其这两种截然不同现象的原因，主要还是学生是否能够灵活地运用数学思想去学习和研究数学问题。以数形结合为例，其在解答数学问题中的应用相当广泛，可以将抽象的数字符号以具体的图像表现出来，提升解题得准确性和效率。基于此，本文主要介绍了数形结合思想的基本内涵、基本方法，并在此基础上详细阐述了数形结合在具体的数学问题的应用，如对函数方程组问题、速度与路程问题、二次函数问题以及其他问题等的解决，以供参考。

【关键词】数形结合；数学思想；数学问题

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）17-0163-02

著名的数学家高斯曾说过：“数学是打开科学大门的钥匙”；德国物理学家伦琴指出：“第一是数学，第二是数学，第三是数学。”；由此不难看出，数学是一切其他学科发展的基础，在经济社会发展中起到重要的作用。因此，学好数学并应用好数学是一个国家强大的重要体现。当前，一些学生“谈数学色变”，而另一些学生则深深地为数学着迷，这与学生能否学會应用数学方法不无关系。我国著名的数学家华罗庚就曾说过：“新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。”，因此，掌握数学思想是学习数学知识的前提。此外，数字和图形是数学发展历史上至为重要的两个研究对象，两者在一定条件下是可以相互转化的。作为一种数学方思想，数形结合思想是讨论数字与图形之间相互对应的关系，通过两者之间相互的转化，将抽象的数字语言用更为直观的图像来表示，或是用图像来表示与之有关的数字运算关系。数形结合是数学思想中最为基本，也是最重要的思想。对于学生来说，个人的空间想象力决定了其运用数形结合思想的深度，巧妙地运用数形结合的思想，将会使数学问题的解决更为方便简单。

一、数形结合思想的简介

（一）基本内涵

数形结合是指在解决数学问题中将抽象的数字与更为直观的图像相结合，可以使抽象的数学问题更为形象生动，提高解决问题的速度和效率。

数形结合思想一般主要应用于研究函数与图像、曲线与方程以及实数与数轴等之间的关系中，运用数形结合的思想不仅能够找到更为简单的解题方法，避免了复杂的计算过程，而且在解答选择题，填空题的时候更具有优势。

在实际运用中，数形结合可以为学生学习提供很好的帮助，也为老师教学提出了新的方向，教师在教学中运用数行结合的方法，可以增加课堂的趣味，提高学生的学习积极性。

（二）数形结合思想的基本方法

1.由数字转化为图形

“数”和“形”两者是相互对应的，一些数字运算过于抽象，无法准确把握，而“形”相对来说则更加直观，能够表现的内容更多，更有利于解决问题。因此，当我们无法用数量运算来解决问题时，可以考虑通过相对应的图形来解决。我们可以根据题目所给定的条件，通过一系列的转化，将题目的数量问题转化为图像问题，并通过对图像的分析，来最终解决数量问题，这一方法就是所谓的图形分析法。将数量问题转化为图像问题一般需要运用立体几何、平面几何、解析几何三个方面的知识。面对一个数学问题，首先要按照什么是已知条件，什么是要求解的未知条件进行结构分析，通过两者之间的比较，找出其中的内在关系。因此，该方法解决问题的基本思路是，确定好题目所给的条件和所要解答的目标，将题目中的已知条件转化为学过的图像表达式，再画出相应的图像，根据图像性质来解决最终的问题。

2.由图形转化为数字

虽然图像的表达方式更为直观生动，但是对于表现方式比较复杂的图形来说，在量的方面仍然需要借助代数的计算来处理，将图形做数字化处理，并且要仔细观察图形中的特点，以及其中的隐含条件，充分运用几何图形的性质，将图形正确地表示成数字之间的运算，这类题目的解题思路主要为：根据题目中所给的已知条件和未知条件，理解两者在几何图形中的重要意义，根据所学知识将图像的表达式写出来，进行运算。

3.数字与图形互相转化

这一方法是指在一些比较复杂的数学问题中，仅仅是从数字变为图形或从图形变为数字的运算方法不能够完全解答数学问题，需要将两个解题思路来回运用，才能最终找到答案。解决这类问题需要反复地从已知条件和结论同时出发，分析出内在的形数互变关系，最终得出答案。

二、如何利用数学思想解决数学问题——以“数形结合”为例

（一）数形结合思想在解决函数方程组问题中的应用

数形结合的思想在函数问题的应用方面相当广泛，在求解函数单调性、极值、定义域、值域等方面都可以结合数形结合的思想。在解答此类问题时，一定要注意不要脱离函数图像想问题，否则容易出现解题失误速度慢等现象。在做函数问题时，如果运用数形结合加以思考，那么问题的求解将更加准确、迅速。

比如在解答“X+Y=1，X-2Y=0”这一方程组时，这个方程组可以运用传统的数理运算进行求解，但这一方法容易出现计算失误，尤其是对于较为复杂的方程式来说。在运用数形结合的思想方法时，我们可以将这个方程组的解看成为平面坐标系中两个一次函数的交点坐标。我们将两个函数方程的函数图像平面坐标系中表现出来（如图1），两条函数直线的交点D点的坐标即为这个方程组的解。运用这种方法，求解过程将更为直观，在应对复杂的方程组时效果更为明显。即使通过传统的数理运算将结果算出来之后，也可以再通过数形结合的思想，运用函数图像来进一步验证答案是否正确。

（二）数形结合思想在解决速度与路程问题中的应用

在解答速度与路程方面问题的过程中，数形结合的思想尤为明显。与其他数学问题不同的是，这类问题中，题干中的人或车等主角是一个动态的点，如果我们仍然用传统的数学方法去寻找解题思路，只会偏离正确的结论越来越远。此外，如果仅仅是靠大脑来“苦想”，对做题者的思维灵活性要求很高。且在更为复杂的追及问题中，通过大脑空想来解决不同的点在起点和终点来回运动等复杂过程中的问题基本是不可能的。如果运用数形结合的思想，就可以将题干中动点运动的路径表现出来，再加以运算就可以得出结果，相比于仅靠大脑的空想更为直观，不易出错，更可以节省解题的时间，继而提升解题效率。

比如在“小明家离学校1500米，小红家离学校1800米，小明骑车去学校速度800m/min，小红走路去学校200m/min，小明先到学校再去接小红，问小红到学校需要多长时间”这个问题，有小明和小红两个动点，且小明这个动点的运动轨迹比小红复杂，如果仅靠大脑来想象，容易出现思维混乱。在数形结合的思想方法中，可以用一条线段上的三个点分别表示学校小明家小红家，根据题目中给出的条件标出，三个点之间的距离（如图2），那么从图像可以看出，当小明回到学校再回去接小红时，两者一共行驶了9300米，相遇的时间t1=9300÷1000=9.3（min），此时小红与小明距离学校的距离为：4800-9.3×200=2940（m），此时乘自行车所需要的时间t2=2940÷800=3.675（min），因此，小红到达学校所需要的时间为12.975min。结合图像，该类型问题的解题思路变得更为清晰，最大限度地避免出現错乱。

（三）数形结合思想在解决二次函数问题中的应用

二次函数是初中和高中阶段均要学习的重点课程，不少学生在初遇二次函数的时候，往往摸不着边际，比如在求解函数的最大值与最小值时，往往没有考虑到定义域，继而算错了答案。此外，一些学生在二次函数的单调性上认识不足，往往通过死记硬背的方法来解答相关题目，结果可想而知。而利用数形结合思想，将二次函数的图像在平面坐标系中画出来，那么很多问题以及该函数的特点都变的异常“清晰”。

比如，在求“f（x2）单调性”这一问题中，如果仅仅用传统的数理运算数学方法来思考，可能会感到无从下手，因为不知道X该如何取值，那么我们可以运用数形结合的思想方法来解决这类问题。如图3，y=ax2（a>0），通过图像我们可以知道，这个函数是一个以y轴为对称轴、开口向上，经过圆点（0，0）的抛物线图像，当x<0时，函数图像呈递减特性，当x>0时，函数图像呈递增特性。通过画出相应的函数图像，我们找到了这一类型问题的解题方向，再加以运算即可写出整个解答过程。

（四）数形结合思想在解决其他数学问题中的应用

除了上述三个方面，数形结合在解决集合问题、三角函数问题、线性规划问题、分数应用问题、数列问题等方面仍有很大的应用空间。在集合方面主要会借助直线数轴和Venn图来解决集合之间交集与并集的运算，如图4所示，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么两个集合的交集即为两个区域的重叠，C={3，4}；同样地，数形结合也是解决三角函数单调区间的重要数学方法，如图5，该图像为余弦函数的图像，从该图像中，我们很容易发现，该函数在定义域X∈R内的最大值为1，最小值-1；在[-π+2kπ，2kπ]上呈单调递增特性，在[2kπ，π+2kπ]上呈单调递减特性，当然余弦函数的特性远不止这些，但通过数形结合的思想，我们在解决三角函数这种复杂函数的问题上就变得“游刃有余”；此外，数性结合思想在方程与不等式、数列以及几何等问题解决方面均有应用，这对于推动数学问题的解决有着重要的作用，同样也给数学研究提供了重要的理论工具。

三、结语

华罗庚先生还说过“数形结合百般好，割裂分家万事休”，由此可见数形结合思想对于数学知识学习和问题研究的重要性。总之，以数形结合为代表的数学思想可以将复杂的问题简单化，将抽象的问题具体化。因此，我们在解决数学问题的时候，需要注意运用一些数学思想，而不是一味死板的生搬硬套，才能更好的解答数学问题。笔者相信，只有更好地理解和掌握数学思想，数学才不会成为广大学子通往知识宝塔上的“拦路虎”。同样地，只有不断地研究和应用数学思想，数学领域的研究才会不断地出现新的成果，为经济社会发展提供重要的理论依据。

参考文献

[1]林春安.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析[J].读写算：教研版，2015（4）.

[2]申楠，张翔宇.“数形结合”在高中数学中的应用[J].开封教育学院学报，2017，37（7）：221-222.

[3]刘若蕖.浅谈数形结合的初步学习[J].农家参谋，2017（14）.

[4]李天歌.高中数学解题中数形结合思想的运用探索[J].科技创新导报，2017，14（20）.

[5]刘静.数形巧结合——数学抽象变具象[J].中国校外教育，2017（7）：39-40.

[6]房爽.论数形结合在中学数学中的应用[J].教育教学论坛，2017（23）：201-202.

[7]陈香华.“数形结合”激活数学思维[J].教育科学论坛，2017（10）：57-58.